En esta ocasión veremos como se realizan las tangentes e intersecciones con rectas a una elipse. Para comenzar definiremos que es una elipse y una circunferencia focal.
La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
La CIRCUNFERENCIA FOCAL es el lugar geométrico de los puntos simétricos al foco respecto a las tangentes de una curva cónica (elipses, parábolas e hipérbolas).
La circunferencia focal (Cf) de la elipse es la de radio el eje mayor y centro en un foco. La elipse y la hipérbola poseen dos circunferencias focales mientras que en la parábola hay una, de centro impropio y coincidente con la recta directriz.
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La TANGENTE por un punto T de una elipse se halla mediante la bisectriz del ángulo F2-T-N o realizando la mediatriz del segmento que comprende desde el foco F2 hasta N, punto en la circunferencia focal situado en prolongación de T desde el foco opuesto F1.
Una vez definida la cónica y sus elementos principales, existen una serie de problemas o casos tipo que debemos conocer como se resuelven. Son los siguientes.
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Una vez definida la cónica y sus elementos principales, existen una serie de problemas o casos tipo que debemos conocer como se resuelven. Son los siguientes.
1. TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR
Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1
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2. TANGENTES A UNA ELIPSE PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
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3. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A LA FOCAL POR TRES PUNTOS M, N, P
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4. PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y ELIPSE DEFINIDA POR SUS EJES
5. EJES DE LA ELIPSE CONOCIENDO DOS TANGENTES, UN PUNTO Y UN FOCO
Si dibujamos la elipse, sombreada, el problema resuelto quedaría como en la siguiente imagen.
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6. EJES DE LA ELIPSE CONOCIENDO TRES TANGENTES Y UN FOCO
7. DADOS LOS FOCOS Y LA C.PPAL. HALLAR LAS TANGENTES DESDE UN PUNTO
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8. DADA UNA ELIPSE Y UNA RECTA QUE LA CORTA, DETERMINAR EL CENTRO RADICAL Y LAS TANGENTES A LA CIRCUNFERENCIA FOCAL DE LA CÓNICA
Este ejercicio nos sirve para aplicar los conocimientos de eje radical (lugar geométrico con igual potencia respecto a dos circunferencias) y centro radical (lugar geométrico de las circunferencias ortogonales y punto de igual potencia respecto a tres circunferencias).
El método empleado nos servirá para resolver problemas con condiciones angulares. En este caso para hallar el centro radical CR se trazan o DOS circunferencias auxiliares, con centros en la recta y radios hasta el foco o una que corte o sea tangente a la circunferencia focal-1 pasando por el foco-2.
Se hallan así dos ejes radicales que se cortan en el punto buscado CR y se comprueba que las tangentes a la circunferencia focal por los puntos en prolongación T (puntos de tangencia en la focal) se cortan en el centro radical.
El método empleado nos servirá para resolver problemas con condiciones angulares. En este caso para hallar el centro radical CR se trazan o DOS circunferencias auxiliares, con centros en la recta y radios hasta el foco o una que corte o sea tangente a la circunferencia focal-1 pasando por el foco-2.
Se hallan así dos ejes radicales que se cortan en el punto buscado CR y se comprueba que las tangentes a la circunferencia focal por los puntos en prolongación T (puntos de tangencia en la focal) se cortan en el centro radical.
Se hallan así dos ejes radicales que se cortan en el punto buscado CR y se comprueba que las tangentes a la circunferencia focal por los puntos en prolongación
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