APOLONIO PPr

Los problemas de Apolonio consisten en determinar las circunferencias tangentes a 3 elementos: puntos (P), rectas (r) y circunferencias (c).

En esta ocasión he optado por incluir los diez problemas fundamentales de Apolonio en una única entrada en el índice del blog, lo podéis ver en el apartado de Dibujo Técnico, (también pulsando aquí).

Dejando aparte el primer caso de "determinar la circunferencia que pasa por tres puntos" (que ya lo sabemos hacer, empleando las mediatrices) comenzaremos por el problema de Apolonio para hallar las circunferencias tangentes a dos puntos y una recta, caso PPr.

Dados dos puntos y una recta (PPr) determinar las circunferencias tangentes.
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En este caso podemos obtener dos soluciones. Además es importante conocer bien este problema porque los demás problemas de Apolonio pueden simplificarse en este caso PPr y en el caso PPc. Por eso le denominaremos Problema Fundamental de Tangencias I.

1. Lo primero que debemos saber es que las circunferencias tangentes a la recta (r) tienen que pasar por los puntos dados y por lo tanto los centros de estas circunferencias se encontrarán, necesariamente, en la MEDIATRIZ de los puntos A y B.

2. Estamos buscando las dos circunferencias dentro de un haz de posibles soluciones que tienen en común el eje radical que pasa por A y B y que además son tangentes a una recta. Para ayudarnos a encontrar las soluciones emplearemos una circunferencia cualquiera del haz, que tendrá su centro en la mediatriz y que pasará por los puntos dados A y B. Será nuestra circunferencia AUXILIAR.

3. El siguiente paso es determinar el centro radical de la recta (r) y la recta AB (eje radical). El centro radical es el lugar geométrico con igual potencia donde se cumple que CrT·CrT=PA·PB, siendo T el punto de tangencia en la circunferencia auxiliar desde Cr.

4. Hallando el centro radical podremos llevar la distancia  CrT sobre la recta y encontrar los puntos de tangencia de las circunferencias que buscamos. El punto T de tangencia en la circunferencia auxiliar respecto al centro radical Cr se halla trazando el arco capaz entre Cr y el centro de la circunferencia auxiliar Oaux.

5. Una vez hallados los puntos de tangencia T1 y T2 sobre la recta nos falta determinar los dos centros O1 y O2 de las circunferencias de la solución. Para ello bastará trazar las perpendiculares a la recta por los puntos de tangencia T1 y T2 y encontrar en la intersección con la mediatriz los centros O1 y O2.

Nota: Se trazan perpendiculares a la recta, porque asimilamos la recta como una circunferencia de radio infinito, de esta manera el "centro de la recta" sería impropio. A su vez las circunferencias de la solución tienen por tangente a la recta dada y todas las tangentes son perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia. Así los centros de las circunferencias solución se sitúan en las perpendiculares a los puntos de tangencia hallados en la recta.

A continuación os dejo la resolución del problema de Apolonio PPr hecha con la aplicación Geogebra. Pulsa en la barra de navegación para visualizar la construcción por pasos y utiliza el ratón para hacer zoom, desplazarte por el dibujo o variar la posición de las figuras.

 

Referencias 

La imagen está sacada de aquí