Ejercicio de acceso a la Universidad de 2008

El siguiente ejercicio pertenece a las pruebas de acceso a la Universidad del año 2008. Se trataba de hallar las circunferencias tangentes a una circunferencia (c) que pasara por dos puntos dados (A y B). La peculiaridad del ejercicio es que los puntos estaban dentro de la circunferencia.

Para resolver este ejercicio seguiremos el procedimiento habitual. Nos apoyaremos en una circunferencia auxiliar (perteneciente haz de circunferencias de los puntos A y B) con la condición de que corte a la circunferencia que nos dan.

Primero hallaremos el centro radical, luego los puntos de tangencia y por último los centros de las circunferencias de la solución. Los pasos detallados son los siguientes:

1. Hallar el centro radical con ayuda de una circunferencia auxiliar (del haz).

Las circunferencias que buscamos tienen sus centros en la mediatriz de los puntos A y B. Así que trazamos una circunferencia auxiliar, cualquiera que pase por A y B y corte a la circunferencia que nos dan.

2. Hallar la tangente desde el Centro Radical a la circunferencia auxiliar (punto T).

El centro radical queda definido por la intersección de dos ejes radicales. Por un lado tenemos el eje que forman los puntos A y B y por otro el eje de la intersección de la circunferencia auxiliar con la del enunciado. Si trazamos el arco capaz de 90º desde el CR hasta el centro de la auxiliar, en la intersección estará el punto de tangencia (T).

3. Hallar los puntos de tangencia T1 y T2. 

La potencia desde CR hasta T es la misma que a T1 y T2, siendo estos dos últimos los puntos de tangencia en la circunferencia dada. Trazando el arco CR-T obtenemos los puntos T1 y T2, luego ya tenemos tres puntos de las circunferencias que buscamos y las podemos dibujar. 

Por último, si unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con el centro O en la intersección con la mediatriz encontraremos los centros de las circunferencias que buscamos.

Como se puede ver en la imagen las circunferencias de la solución, de color azul, pasan por los puntos A y B, son tangentes a la dada y tienen sus centros en la mediatriz de esos dos puntos.

En definitiva, teniendo nuestras ideas claras se trata de un ejercicio que podemos resolver en pocos minutos.

INVERSIÓN ejercicio 1

En esta ocasión realizaremos un ejercicio de inversión. Pero antes vamos a resumir los conceptos básicos de la inversión. (Puedes ver el tema completo de Inversión en el plano aquí ).

1. La inversión es una transformación con centro, donde el punto transformado está  alineado con el centro de inversión.
2. Se denomina potencia de inversión a la relación  dada por el producto de las distancias de puntos P y transformado P' al centro de inversión I. Esa relación es constante, esto es: IP·IP'=K·K=cte
3. Si la potencia de inversión es positiva, un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión. La circunferencia de autoinversión,  de radio la raíz de la potencia (K), es doble y de puntos dobles.
4. Si la potencia es negativa el centro de inversión se encuentra entre cada punto y su transformado. La circunferencia de autoinversión es doble pero no de puntos dobles.
5. Dos puntos y sus inversos son concíclicos. Las rectas que unen dos puntos y la que unen sus inversos son antiparalelas (dos a dos forman el mismo ángulo).

El ejercicio de inversión propuesto es el siguiente:

Dado un triángulo isósceles, el centro de inversión (I) y el inverso de A,  hallar el inverso del triángulo ABC.
El inverso del vértice (A) se encuentra en la intersección perpendicular de la recta IA con CB.

Pulsa aquí para ir a la solución del ejercicio 1 de inversión

DOS EJERCICIOS DE PAU

A continuación se resuelven dos ejercicios propuestos en las pruebas de acceso a la universidad PAU. Para ver su solución pulsa el botón de reproducir que aparece, abajo, en la aplicación Geogebra.

 
Ejercicio propuesto en selectividad en 2011.



Ejercicio propuesto en selectividad en 2014.

EJERCICIO: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CPR

El siguiente ejercicio fue propuesto en un examen de 1º de Bachillerato. Es un problema que se puede solucionar por diferentes métodos según nuestro nivel de conocimientos. Vamos a solucionarlo de varias formas y veremos que planteandolo como una inversión la solución es inmediata.

El enunciado solicita: obtener las circunferencias tangentes a una circunferencia de centro C, una recta tangente (r) y un punto de tangencia (T) según la figura adjunta.

Análisis del problema

Si examinamos el problema  nos daremos cuenta que hay dos circunferencias solución. Una a cada lado de la recta tangente (r) que comparten el punto tangente (T) y son interiores a la circunferencia dada. Además observamos que los centros de estas circunferencias se deben situar en la perpendicular a la recta (r) que pasa por el punto de tangencia (T). El problema consiste en determinar los centros de las circunferencias solución y los puntos de tangencia con la circunferencia dada.

Existen varias maneras de resolver este problema, una es por diferencia de radios, otra aplicando el concepto de inversión y también lo podemos hacer con una circunferencia auxiliar y hallando el centro radical.

Alternativamente podemos enfocar el problema percartandonos que el arco capaz de 90º que pasa por el punto T definirá los puntos de tangencia. Por tanto bastaría con unir los extremos del diámetro, paralelo a la recta que contiene los centros de las circunferencias buscadas, con el punto T para hallar los puntos de tangencia comunes en la circunferencia dada. Esto ocurre en aplicación directa del teorema de Tales.

Sin embargo el concepto que hay detrás la solución comentada es la inversión, que además es la manera más rápida de solucionarlo. Para ello debemos suponer que la recta dada se invierte en la circunferencia y viceversa.

Solución del problema

Como decíamos si planteamos una inversión la solución es inmediata. En esta solución la circunferencia de autoinversión (en rojo) quedaría definida por los puntos de corte de la recta con la circunferencia (puntos dobles) y tendría como centro cada extremo del diámetro perpendicular a la recta (centros de inversión). Vamos a detallar los pasos.

1. Determinamos los centros de inversión, en los extremos del diámetro perpendicular a la recta.
2. Unimos los centros de inversión con el punto de tangencia que nos dan, en la intersección con la circunferencia hallamos los puntos de tangencia que buscamos.
3. Al unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en la intersección con la perpendicular por T, encontramos los centros de las circunferencias solución.

 Otra manera de solucionar el ejercicio:

1. Trazamos una circunferencia auxiliar, una del haz de circunferencias de las soluciones. Esta auxiliar será tangente en T (pasará por T) y tendrá su centro en el eje perpendicular a T.
2. Hallamos el Centro Radical, intersección del eje radical que determina la auxiliar con la circunferencia dada y la recta. El centro radical, en este caso, estará en la recta dada.
3. Dibujamos la tangente a la circunferencia auxiliar desde el Centro Radical y lo llevamos a la circunferencia del enunciado. (Nótese que en este caso podemos utilizar directamente el punto T, sin hacer la tangente a la auxiliar.)
4. Determinamos los centros de las circunferencias tangentes interiores (O1 y O2) uniendo los puntos de tangencia con el centro (C).

Puedes comprobar aquí otra manera de entender la solución, desplaza el punto verde.

SOLUCIÓN 2

SOLUCIÓN EJERCICIO 2 (Geogebra)

Enunciado aquí

Para solucionar este problema te debes dar cuenta que las distancias que unen a Eva a Fernando y a Carlitos forman un triángulo.

Entonces aplicamos el concepto de MEDIATRIZ: que es la región del plano en que sus puntos equidistan a los extremos de un segmento. En este caso podemos hallar la mediatriz de cada lado del triángulo.

La intersección de las tres mediatrices nos proporciona un punto: el circuncentro. El centro de la circunferencia que circunscribe al polígono, en este caso un triángulo. A partir de ahí -el centro-, podemos determinar la región del plano que cumple las condiciones del problema. Carlitos debe estar más cerca del colegio y su madre, Eva, debe ser la que esté más alejada de la nueva vivienda.

La nueva vivienda de la familia se debe situar -para cumplir las condiciones del problema-, sobre el segmento que une los puntos J y K (en color rojo en la figura). A medida que la vivienda se sitúe cercana al punto (K) Eva estará más lejos de su trabajo. Mientras que Carlitos y su progenitor seguirán estando a la misma distancia de sus destinos.

Puedes comprobar la solución en la siguiente imagen e interactuar en ella en Geogebra para comprobar cómo varían las distancias en cada caso.

EJERCICIO 2

Eva y Fernando se acaban de trasladar a la ciudad. Carlitos, su hijo, va a comenzar el colegio. Cada uno de los padres trabaja en un extremo de la ciudad y el colegio se encuentra entre ambos trabajos, según la figura adjunta. Todos quieren estar lo más cerca de sus destinos, pero:

¿Dónde deberían vivir para que el niño haga el menor recorrido para ir al colegio y Eva sea la que más camino recorra para ir a su trabajo?

Figura del ejercicio 2

¿Lo has solucionado? Para ver la SOLUCIÓN al EJERCICIO 2 debes pulsar el botón que se encuentra en la parte inferior de esta entrada.

Ideas de problemas similares para desarrollar:

Opción 1.

En el parque de la figura hay una serie de papeleras en los puntos A, B, C y D. Dibuja el conjunto de puntos del parque para los que la papelera más cercana sea la situada en el punto A.

Opción 2.

¿En qué punto de una vía férrea hay que situar una estación, de modo que se encuentre a la misma distancia de los pueblos A y B?

SOLUCIÓN 2.

Para solucionar este problema te debes dar cuenta que las distancias que unen a Eva a Fernando y a Carlitos forman un triángulo.

Entonces aplicamos el concepto de MEDIATRIZ: que es la región del plano en que sus puntos equidistan a los extremos de un segmento. En este caso podemos hallar la mediatriz de cada lado del triángulo.

La intersección de las tres mediatrices nos proporciona un punto: el circuncentro. El centro de la circunferencia que circunscribe al polígono, en este caso un triángulo. A partir de ahí -el centro-, podemos determinar la región del plano que cumple las condiciones del problema. Carlitos debe estar más cerca del colegio y su madre, Eva, debe ser la que esté más alejada de la nueva vivienda.

La nueva vivienda de la familia se debe situar -para cumplir las condiciones del problema-, sobre el segmento que une los puntos J y K (en color rojo en la figura). A medida que la vivienda se sitúe cercana al punto (K) Eva estará más lejos de su trabajo. Mientras que Carlitos y su progenitor seguirán estando a la misma distancia de sus destinos.

Puedes comprobar la solución en la siguiente imagen e interactuar en ella en Geogebra para comprobar cómo varían las distancias en cada caso.

Si no se ves la solución en Geogebra pulsa aquí.

SOLUCIÓN 1

SOLUCIÓN EJERCICIO 1 (Geogebra)

Enunciado aquí

Para solucionar de manera sencilla el problema debemos aplicar el teorema de Pitágoras. Este teorema establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Paso 1. Nuestras estanterías son cuadradas y, por tanto, podemos establecer que los lados de los catetos de nuestro triángulo rectángulo son los lados de las estanterías.
Para ello dibujamos un triángulo rectángulo cuyos lados menores, o catetos, son los lados de las estanterías de 4 y 3 filas. A continuación levantamos un cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo que hemos creado.
Observe el lector que no hemos necesitado conocer la separación entre baldas, porque son todas iguales, ni tampoco la altura de las estanterías porque ambas son cuadradas.
El resultado gráficamente se muestra en la figura siguiente.

Paso 2. Una vez construida la superficie de la nueva estantería, sombreada en verde, procedemos a calcular el número de baldas para colocar los libros.

Para ello podemos transportar las distancias de una de las estanterías a la nueva superficie. Elegimos el punto común A como centro de la translación y realizamos las circunferencias con radio la distancia entre las baldas; obteniendo los puntos de intersección: Q, R, S y T en la nueva estantería. Observamos que disponemos de 5 filas. Esta es la solución al problema planteado.

Para concluir diremos que necesitamos 5 filas de libros en la nueva estantería. Una estantería cuadrada de 5 filas, con una separación idéntica entre sus baldas, tiene la misma superficie que la suma de las dos estanterías cuadradas de 3 y 4 filas. Efectivamente podemos comprobar que aplicando el teorema de Pitágoras la suma: (4·4)+(3·3) = 16+9 = 25

Aquí tienes la solución en Geogebra. Puedes comprobar que desplazando los puntos A, B y C varia la superficie de los cuadrados de tal manera que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pregunta para la reflexión: ¿se te ocurre otra manera gráfica de plantear el problema?

Sugerencia. A partir de los rectángulos que forman las estanterías se puede formar una nueva superficie cuadrada.

Si quieres realizar algún comentario te invitamos a que nos escribas en los comentarios.

EJERCICIO 1

Un librero tiene dos estanterías cuadradas repletas de libros en su tienda. Una estantería dispone de 4 filas de libros mientras que la otra tiene 3 filas. En ambas estanterías las baldas con libros están separadas a la misma altura.

El librero quiere hacer una nueva estantería cuadrada para colocar en ella todos sus libros. Si mantenemos la misma separación entre las baldas de libros, ¿cuántas filas de libros tendrá como mínimo la nueva estantería?

Para ver la solución al problema pulsa el botón o el enlace. Encontrarás la respuesta explicada paso a paso y de forma dinámica, con el programa Geogebra.

Solución aquí

Para solucionar de manera sencilla el problema debemos aplicar el teorema de Pitágoras. Este teorema establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Paso 1. Nuestras estanterías son cuadradas y, por tanto, podemos establecer que los lados de los catetos de nuestro triángulo rectángulo son los lados de las estanterías.
Para ello dibujamos un triángulo rectángulo cuyos lados menores, o catetos, son los lados de las estanterías de 4 y 3 filas. A continuación levantamos un cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo que hemos creado.
Observe el lector que no hemos necesitado conocer la separación entre baldas, porque son todas iguales, ni tampoco la altura de las estanterías porque ambas son cuadradas.
El resultado gráficamente se muestra en la figura siguiente.

Paso 2. Una vez construida la superficie de la nueva estantería, sombreada en verde, procedemos a calcular el número de baldas para colocar los libros.

Para ello podemos transportar las distancias de una de las estanterías a la nueva superficie. Elegimos el punto común A como centro de la translación y realizamos las circunferencias con radio la distancia entre las baldas; obteniendo los puntos de intersección: Q, R, S y T en la nueva estantería. Observamos que disponemos de 5 filas. Esta es la solución al problema planteado.

Para concluir diremos que necesitamos 5 filas de libros en la nueva estantería. Una estantería cuadrada de 5 filas, con una separación idéntica entre sus baldas, tiene la misma superficie que la suma de las dos estanterías cuadradas de 3 y 4 filas. Efectivamente podemos comprobar que aplicando el teorema de Pitágoras la suma: (4·4)+(3·3) = 16+9 = 25

Aquí tienes la solución en Geogebra. Puedes comprobar que desplazando los puntos A, B y C varia la superficie de los cuadrados de tal manera que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si no se ves la solución en Geogebra pulsa aquí.

Pregunta para la reflexión: ¿se te ocurre otra manera gráfica de plantear el problema?

Sugerencia. A partir de los rectángulos que forman las estanterías se puede formar una nueva superficie cuadrada.

Si quieres realizar algún comentario te invitamos a que nos escribas en los comentarios.