TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

En esta ocasión vamos a definir las transformaciones geométricas. Las transformaciones geométricas son el resultado de establecer una correspondencia entre dos elementos de un conjunto. De esta manera podemos relacionar puntos, rectas o figuras entre sí.

Una manera de diferenciar las transformaciones geométricas es por sus características o por su geometría. En el siguiente gráfico se nombran y clasifican cada una de estas transformaciones.

HOMOGRAFÍA

Atendiendo a la geometría, podemos definir la homografía como una transformación de tipo proyectivo donde se establece una correspondencia entre elementos del mismo tipo, punto con punto, recta con recta o entre dos figuras planas.

Entre las transformaciones homográficas encontramos las siguientes:

• Homología: transformación con un centro, un eje y dos rectas límites.
  
• Afinidad u homología afín: transformación con un eje y de centro impropio.
• Homotecia: transformación con un centro y de eje impropio.
• Traslación: transformación de centro y eje impropios.
• Simetría
• Giro 

En la siguiente imagen hay dibujada una homografía entre dos secciones planas, donde a cada punto A B C le corresponde un único punto transformado A´ B´ C´.

En este tipo de transformaciones empleamos un punto de origen de los haces de proyección, de tal manera que cuando estos atraviesan un punto (B) del plano de referencia se transforman en otro punto (B´) en el plano de la proyección. 

La recta intersección de los dos planos de la transformación está formado por puntos dobles y se denomina eje. Así cualquier punto situado en el eje se tranformará en el mismo punto. Y una recta que no sea paralela al eje tendrá siempre un punto de corte en el eje que será un punto doble.

En próximas entradas definiremos cada una de las transformaciones geométricas mencionadas.

APOLONIO CCC

El llamado problema de Apolonio consiste en trazar las circunferencias tangentes a tres circunferencias. En su forma general las circunferencias son de radio diferente y exentas, sin cortarse entre ellas. Se trata de un problema importante de la geometría euclidiana que planteó Apolonio de Pérgamo (262-190 a.C.) en sus obras y tiene aplicaciones en diferentes campos.

Si estudiamos el problema con circunferencias de radio variable observaremos que una circunferencia de radio nulo se convierte en un punto y otra de radio infinito en una recta. Combinando los tres elementos mencionados, puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C) podemos obtener diez casos diferentes del problema de Apolonio.

En esta ocasión vamos a explicar la solución del problema CCC, con tres circunferencias. Para ello transformaremos este caso en otro más sencillo y luego emplearemos la inversión en el plano.

Existen otros métodos para solucionar el problema. Podemos hacerlo por homotecia mediante el llamado "procedimiento de Gergonne" o también empleando haces corradicales de circunferencias. Incluso hoy sabemos, por referencias en textos antiguos,  que Apolonio lo había solucionado en su obra Epaphaí (Tangencias). Sin embargo este libro no se ha conservado hasta nuestros días así que desconocemos cómo lo realizó él.

En la época moderna el problema de Apolonio se resolvió por primera vez a finales del siglo XVI. Lo hicieron Adriaan van Roomen y, casi simultaneamente,  François Viète. Posteriormente el procedimimiento del primero fue simplificado por Newton y el del segundo será completado por Descartes. El método de Roomen utilizaba hipérbolas mientras que el de Viète se ajustaba mejor a los métodos antiguos de "regla y compás".

El problema de Apolonio CCC tiene OCHO soluciones en su forma general y de manera resumida diremos que para resolverlo hay que disminuir la circunferencia más pequeña a un punto mientras que dilatamos las otras dos. De esta manera, convertiremos el problema CCC en un caso conocido: el PCC. (También puedes ver la explicación del problema anterior de Apolonio PCC pulsando en este enlace: Apolonio PCC).

APOLONIO CCC

1. Comenzaremos por restar el radio de la circunferencia más pequeña a las otras dos.

2. Desde el centro O1 de la circunferencia más pequeña (convertida en un punto) trazamos el arco capaz de 90º hasta el centro O3 de la otra circunferencia. 

3. Con centro en O1 y radio hasta el punto de tangencia T trazamos una circunferencia. Esta será la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión que utilizaremos a continuación.

4. Dibujamos la circunferencia inversa de C2 que hemos dilatado (Cr2-r1) y tomamos como centro de inversión el punto O1.

Para trazar la circunferencia inversa de C2 tenemos que hallar los inversos de los puntos A y B, extremos de la circunferencia. Una vez tenemos los puntos inversos Ai y Bi hallamos el punto medio y trazamos la circunferencia inversa.

Nota: no se puede hallar directamente el inverso del centro O2, pues la inversión es una transformación homográfica y conforme (conserva relaciones angulares) pero no conserva las magnitudes lineales ni las proporciones métricas. Por lo tanto el inverso del centro O2 no correspondería con el centro de la circunferencia inversa.

5. Trazamos las tangentes entre la circunferencia invertida (C2inv) y la de centro O3. 

6. A continuación deshacemos la inversión de las rectas tangentes. Obtenemos así una primera circunferencia tangente a las dos que hemos dilatado y que pasa por O1. (En la imagen dibujada en azul con trazos discontinuos).

Como en el caso PCC, para deshacer la inversión de la tangente bastará con encontrar los puntos de tangencia de la recta con las circunferencias y unirlos con el centro de la inversión. En la prolongación encontraremos los puntos de tangencia inversos.

Para hallar el centro de la circunferencia unimos mediante una semirrecta los puntos de tangencia con los centros O2 y O3 respectivamente, en la intersección de las dos semirrectas hallaremos el primer centro de la solución.

7. Por último trasladamos la circunferencia obtenida (de trazos discontinuos) hasta las circunferencias originales. Para ello trazamos la circunferencia concéntrica que pase por los puntos de tangencia trasladados a las circunferencias originales. Esta circunferencia será la primera solución.

Si repetimos el proceso con el resto de las rectas tangentes (interiores y exteriores) y también sumando el radio de O1 a las otras circunferencias encontraremos las OCHO soluciones. 

Puedes consultar otros problemas de Apolonio realizados en el Blog en la lista del índice del apartado de Dibujo Técnico (aquí).

Apolonio Pcc

Continuando con los problemas de Apolonio vamos a resolver el caso de las circunferencias tangentes a dos circunferencias y un punto, caso Pcc. 

Puedes consultar los demás casos en este blog, en el índice del apartado de Dibujo Técnico (pulsando aquí).

Para hallar las circunferencias tangentes del caso Pcc debemos aplicar los conceptos de inversión en el plano. Conceptos que ya hemos explicado en el blog (aquí).

Este caso tiene CUATRO soluciones en su forma general. Hallaremos dos soluciones mediante una inversión positiva y otras dos mediante una inversión negativa.

INVERSIÓN POSITIVA

A1. Definimos la inversión.

Consideraremos las dos circunferencias inversas entre sí y a continuación hallamos el centro de la inversión mediante sus tangentes. Podemos hallar dos centros de inversión, uno lo definen las rectas tangentes interiores y otro las exteriores. Pero para no complicar el dibujo, ahora lo haremos con las tangentes exteriores.

Recordemos también que en una inversión una circunferencia que no pasa por el centro de inversión se transforma en otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de la inversión.

Comenzamos hallando las rectas tangentes a las dos circunferencias para encontrar el centro de la inversión. Para trazar dichas tangentes podemos emplear el método de restar radios (exteriores) o por homología.

En la siguiente imagen se han trazado las tangentes exteriores y el punto de corte: centro de la inversión.

A2. Hallamos el inverso del punto.

 

Además de obtener el centro de la inversión vemos que los extremos de los diámetros más cercanos son puntos inversos entre sí. Y como una propiedad de la inversión es que dos puntos y sus inversos son concíclicos, están la misma circunferencia, podemos definir la circunferencia formada por los puntos A, su inverso Ai y el punto P. 

Con la circunferencia concíclica y el centro de la inversión podemos determinar el punto inverso de P, el punto Pi. Lo haremos trazando una recta desde el centro de inversión Ci hasta el punto P, hallando así el punto de corte con la circunferencia concíclica: el punto Pi.

A3. Haz de circunferencias que pasan por P y su inverso.

Las soluciones de este problema se van a encontrar dentro del haz de circunferencias que definen los puntos P y Pi. Por lo tanto los centros de las circunferencias que buscamos estarán en la mediatriz de estos puntos.  Ahora nos falta determinar los puntos de tangencia en las circunferencias.

A4. Ejes y centros radicales.

A continuación observaremos los ejes radicales que tenemos en nuestro dibujo. (Si quieres saber más sobre ejes radicales lo hemos explicado en el blog aquí). Por un lado tenemos el eje radical que definen los puntos P y Pi y por otro tenemos los ejes que definen la circunferencia concíclica en su intersección con las circunferencias dadas.  

En este punto podemos utilizar la circunferencia concíclica como auxiliar, porque es una de las circunferencias del haz de soluciones, tiene su centro en la mediatriz y pasa por P y su inverso. Recordemos que todas las circunferencias que pertenecen al mismo haz elíptico cumplen las mismas condiciones de tangencia desde el centro radical.

Continuamos prolongando los ejes radicales hasta que se corten en los puntos M y N.

Si nos fijamos hemos convertido nuestro problema en el caso PPC, tenemos dos puntos y cada una de las circunferencias. Vamos a continuar como lo haríamos en el caso PPC

A5. Puntos de tangencia y centro de las circunferencias.

Ya sólo nos falta hallar los puntos de tangencia. Para este paso podemos hacerlo de dos formas. Una es trazando los arcos capaces de 90º respecto a los puntos M-O1 y N-O2, otra empleando la circunferencia auxiliar y dibujando los arcos capaces entre M-C_aux y N-C_aux y hallando los puntos de tangencia (Tc1 y Tc2) que trasladeremos a las circunferencias 1 y 2. Ambos procedimientos deben coincidir en los mismos puntos de tangencia.

Si ahora unimos los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en su prolongación hallaremos los centros de DOS de las CUATRO circunferencias solución. Estos centros se deben encontrar en la mediatriz de P y su inverso Pi. Ya sólo hay que trazar las circunferencias solución desde los centros hallados en la mediatriz hasta los puntos de tangencia.

A continuación realizaremos la inversión negativa para hallar las otras dos circunferencias tangentes.

INVERSIÓN NEGATIVA

B1. Definimos la inversión.

El primer paso es considerar las dos circunferencias inversas entre sí y hallaremos el centro de inversión que definen las rectas tangentes interiores.

Nota: No es necesario dibujar las tangentes interiores, por homología podemos determinar el centro de la inversión. Bastará con trazar dos segmentos paralelos por los centros de las circunferencias y en el punto de corte de los segmentos que unen los lados de cada extremo opuesto estará el centro de la inversión (ver figura).

B2. Hallamos el inverso del punto.

 

Dos puntos y sus inversos son concíclicos y podemos definir la circunferencia formada por los puntos A, su inverso Ai y el punto P. En esta ocasión los puntos inversos se situan en un extremo del diámetro de cada circunferencia.

Con la circunferencia concíclica y el centro de la inversión podemos determinar el punto inverso de P, el punto Pi. Lo haremos uniendo el centro de inversión (Cinv) con el punto P hasta que corte a nuestra circunferencia auxiliar. 

 B3. Haz de circunferencias que pasan por P y su inverso.

Como antes, las soluciones de este problema se van a encontrar dentro del haz de circunferencias que definen los puntos P y Pi. Por lo tanto los centros de las circunferencias que buscamos estarán en la mediatriz de estos puntos.  Ahora nos falta determinar el centro radical y los puntos de tangencia en las circunferencias.

B4. Ejes y centros radicales.

Utilizamos la circunferencia concíclica como auxiliar pues todas las circunferencias del haz de las circunferencias solución pasan por P y Pi y tienen su centro en la mediatriz de P y Pi, como nuestra auxiliar y concíclica. Prolongamos prolongamos los ejes radicales que define nuestra auxiliar con las circunferencias del problema hasta que se corten en el centro radical CR.

B5. Puntos de tangencia y centro de las circunferencias.

Hemos vuelto a reducir el problema al caso PPC, tenemos el punto P, su inverso Pi y la circunferencia C1 (elegimos esta circunferencia porque su centro radical queda dentro de nuestros límites de dibujo).

Nos falta hallar los puntos de tangencia. Para este paso haremos el arco capaz 90º entre CR y el centro de la auxiliar C_aux. Luego trasladaremos el punto de tangencia a la circunferencia de centro O1. Como explicamos antes también podríamos hacer un arco entre el centro radical y el centro O1 de la circunfencia. Nos daría un punto de tangencia directamente en dicha circunferencia (ver imagen).

Por último al unir los puntos de tangencia con los centros de las circunferencias, en su prolongación, hallaremos los centros de otras DOS de las CUATRO circunferencias solución.

Soluciones A y B realizadas con Geogebra

A continuación todo el proceso explicado antes hecho con la aplicación Geogebra. Utiliza el zoom y la barra de navegación para ver los pasos desde el principio.

CASO A

CASO B

APOLONIO Prc

Vamos a continuar con la resolución de los problemas de Apolonio. Los demás casos los puedes consultar en el índice de Dibujo Técnico del Blog. En esta ocasión resolveremos el problema de Apolonio para trazar las circunferencias tangentes a un punto, una recta y una circunferencia. Este caso (Prc) debe tratarse mediante inversión en el plano para simplificar su resolución.

En una inversión se mantienen las propiedades de tangencia. Por este motivo se emplea esta transformación para hallar las circunferencias tangentes a los tres elementos citados.

Para hallar las CUATRO soluciones dividiremos el procedimiento en dos partes (A y B) cada una con un centro de inversión diferente y una inversión positiva y otra negativa. Los pasos para encontrar las soluciones son los siguientes.

INVERSIÓN POSITIVA

A1. Determinar la inversión.

En primer lugar tomaremos como elementos inversos la circunferencia y la recta dada. Tenemos así una inversión en el plano donde la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de la inversión. Por lo tanto si trazamos la perpendicular a la recta por el centro de la circunferencia hallaremos, en el extremo del diámetro, el centro de la inversión.

A2. Hallar el centro radical.

Una vez definida la inversión podemos determinar el centro radical (CR). El centro radical se encontrará sobre la recta dada y en la intersección con la recta que une el centro de la inversión y el punto P.

A3. Hallar la circunferencia concíclica y el inverso del punto.

En toda inversión dos puntos y sus inversos son concíclicos, definen una circunferencia. Esta propiedad permite hallar fácilmente el inverso del punto P. 

Para ello conocemos tres puntos de dicha circunferencia, el punto dado P, el punto A y su inverso A1. El punto A es el otro extremo del diámetro del centro de inversión. A su vez el punto inverso A1 estará en la intersección que determinan la prolongación del diámetro y la recta dada.

Trazando la circunferencia que pasa por los tres puntos mencionados podemos hallar el inverso de P, el punto P1. Éste estará en la recta que une el centro de inversión con P y pertenecerá a la circunferencia concíclica.

Por otra parte sabemos que en la mediatriz de P y su inverso P1 se encontrarán los centros de las circunferencias tangentes solución. Dichas circunferencias pasarán por los puntos mencionados P y P1 pues pertenecen al mismo haz (elíptico) de circunferencias.

Para solucionar el problema hay que encontrar las dos circunferencias de dicho haz que cumplan con la condición de tangencia a los tres elementos dados.

A4. Centros de las circunferencias solución.

Para determinar los centros de las circunferencias buscadas utilizaremos el centro radical, que es el lugar geométrico con igual potencia respecto a los puntos de tangencia.

Primero hallaremos el punto de tangencia a la circunferencia concíclica, que nos sirve de auxiliar porque es una circunferencia que tiene su centro en la mediatriz de P y P1 y pertenece al mismo haz de circunferencias que las buscadas. El punto de tangencia (T) en esta circunferencia tendrá por lo tanto la misma potencia respecto a los puntos de tangencia de las circunferencias solución.

Para hallar el punto tangente se traza el arco capaz de 90° entre el centro radical y el centro de la circunferencia que empleamos como auxiliar. Una vez determinado el punto de tangencia (T) lo trasladamos sobre la recta. Con radio CR a T determinamos los puntos T1 y T2 que son los puntos de tangencia en la recta dada.

Por último si trazamos las perpendiculares a la recta por los puntos de tangencia T1 y T2, en la intersección con la mediatriz de P y P1, encontraremos los centros de las circunferencias solución: centros CT1 y CT2.

Las circunferencias buscadas tienen radios desde los centros CT1 y CT2 hasta los respectivos puntos de tangencia T1 y T2 en la recta, son tangentes a la circunferencia dada y pasan por P y su inverso P1.

Si queremos determinar con exactitud los puntos de tangencia en la circunferencia, bastará con unir el centro de la inversión (Cinv) con los puntos T1 y T2 para obtener sus inversos: los puntos de tangencia en la circunferencia.

Una vez halladas las dos primeras circunferencias continuaremos con la segunda fase para determinar las otras dos circunferencias de la solución. En esta ocasión debemos tomar otro centro de inversión, el punto opuesto del diámetro

INVERSIÓN NEGATIVA

B1. Determinar la inversión.

En la perpendicular a la recta que pasa por el centro de la circunferencia hallaremos, en el extremo del diámetro, el centro de la inversión. Utilizaremos como centro de inversión el extremo opuesto al caso anterior (Cinv 2).

B2. Hallar el centro radical.

El centro radical se encontrará sobre la recta dada y en la intersección con la recta que une el centro de la inversión y el punto P. Obtenemos así el punto CR2.

B3. Hallar la circunferencia concíclica y el inverso del punto.

Como se explicó antes en toda inversión dos puntos y sus inversos son concíclicos, definen una circunferencia. Hallamos el inverso del punto P con la circunferencia concíclica que en esta ocasión determinará el punto P2.

En la mediatriz de P y su inverso P2 se encontrarán los centros de las circunferencias tangentes que buscamos.

B4. Centros de las circunferencias solución.

Para determinar los centros de las circunferencias buscadas utilizaremos el centro radical CR2, lugar geométrico con igual potencia respecto a los puntos de tangencia.

Hallaremos el punto de tangencia a la circunferencia concíclica y que nos sirve de auxiliar. El punto de tangencia (M) en esta circunferencia tendrá por lo tanto la misma potencia respecto a los puntos de tangencia de las circunferencias solución.

Para hallar el punto tangente se traza el arco capaz de 90° entre el centro radical y el centro de la circunferencia que empleamos como auxiliar (punto N).

Una vez determinado el punto de tangencia (M) lo trasladamos sobre la recta. Con radio CR2 a M determinamos los puntos T3 y T4 que son los puntos de tangencia en la recta.

Por último si trazamos las perpendiculares a la recta por los puntos de tangencia T3 y T4, en la intersección con la mediatriz de P y P2, encontraremos los centros de las otras dos circunferencias.

La solución completa, con las cuatro circunferencias, se presenta en la siguiente imagen.

Solución en Geogebra.

A continuación se presenta el problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.

INVERSIÓN EN EL PLANO

Definición

La inversión de un punto A respecto a una circunferencia de centro I, es el único punto A’ de la recta que forman I y A donde se cumple que IA • IA’ = r·r. Siendo r el radio de la circunferencia.

La inversión es una transformación que no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Sin embargo la inversión es una transformación  que conserva las relaciones angulares. 

Al igual que ocurre con las homotecias la inversión es una transformación con centro donde un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de inversión. Si llamamos I al centro de inversión y  P a un punto y P’ a su inverso, el producto de las distancias de estos puntos al centro de inversión es constante y se denomina potencia de inversión (W).

IP • IP’ = K • K = W = cte

Cuando un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión decimos que la inversión es positiva. En cambio cuando el centro de inversión se encuentra entre un punto y su transformado decimos que la inversión es negativa.

La diferencia entre potencia e inversión consiste en que mientras la potencia es la relación entre un punto y una circunferencia, la inversión es una transformación que se puede aplicar a todos los puntos del plano.

Circunferencia de autoinversión

Si la potencia de inversión es positiva, los puntos que se encuentran a distancia K del centro son dobles. La circunferencia de radio la raíz de la potencia (W), esto es de valor K, es una circunferencia de puntos dobles (c.p.d) denominada circunferencia de autoinversión.

Si la potencia de inversión es negativa, la circunferencia de autoinversión es doble pero sus puntos no son dobles.

Es importante conocer que  dos puntos y sus inversos son concíclicos, o lo que es lo mismo que decir que los puntos se sitúan en una circunferencia. Este hecho es importante porque nos permitirá resolver diversos problemas relacionados con la inversión.

Rectas antiparalelas

Por otra parte, las rectas que unen dos puntos (A y B) y las que unen sus inversos (A’ y B’)  son antiparalelas: dos a dos forman el mismo ángulo.

Por el teorema de Tales sabemos que al cortar dos rectas a y b concurrentes en un punto I, por otras dos rectas r y s, se obtienen dos triángulos semejantes (IAB - IA’B’) de forma tal que IA/IB=IB’/IA’. En forma de producto resultaría así:

IA•IA’= IB•IB’

Por lo tanto, cuando dos rectas concurrentes en I (a y b) son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas (r y s)  en puntos inversos de una inversión de centro I, obtenemos una pareja de triángulos semejantes.
(Recordemos que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales).

Inversa de una recta

Con la inversión de una recta tenemos dos casos:

a) Si una recta pasa por el centro de inversión la figura inversa de esta es la misma recta.

b) Si una recta no pasa por el centro de inversión su figura inversa es una circunferencia, que pasa por el centro de la inversión, cuyo centro se halla en la perpendicular trazada desde el centro de inversión a la recta.

Inversa de una circunferencia.

a) Cuando la circunferencia pasa por el centro de inversión.

Antes hemos dicho que si invertimos una recta que no pasa por el centro de inversión el lugar geométrico inverso es una circunferencia que si pasa por el centro de inversión. Al ser la inversión una transformación reciproca, es decir, si el inverso de un punto A es A’ y el inverso de A’ es A, podemos decir que si invertimos una circunferencia que pasa por el centro de inversión el resultado será una recta que no pasa por él. Vamos a deducirlo.

Efectivamente si tenemos un punto M y el centro de una inversión (punto I) el ángulo en M inscrito en una semicircunferencia es recto (esto es, es un arco capaz de 90º). Si a continuación invertimos un segundo punto N, el segmento N’M’ debe formar un ángulo recto con la recta N’N (ángulos en rectas antiparalelas). Al repetir esta operación para los infinitos puntos de la circunferencia obtenemos la recta inversa.

Como dos puntos y sus inversos son concíclicos, las rectas que unen dos puntos y las que unen sus inversos son antiparalelas de las rectas que unen cada punto con su inverso (dos a dos forman el mismo ángulo). Por lo tanto, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa él. Y la dirección de dicha recta será perpendicular al diámetro que contiene el centro de inversión.


b) Cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión.

¿Qué ocurre cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión? En este caso nos ayudaremos de la siguiente figura. Veremos que si definimos una inversión mediante la circunferencia de autoinversión (c.p.d.) de centro O, y la circunferencia que queremos invertir, de centro C, tiene los puntos A y B como extremos del diámetro definido por la recta que une ambas circunferencias. Entonces ocurre lo siguiente:

1. El centro O1 de la circunferencia inversa de la dada estará en la recta que une los centros O y C. Si desde A trazamos la tangente A-TA a la circunferencia de autoinversión y desde TA la perpendicular a CO, entonces determinamos el punto A’, inverso del A.
2. Si desde B trazamos la tangente B-TB a la circunferencia de autoinversión y desde TB la perpendicular a CO, ahora determinamos el punto B’, inverso del B.
3. A continuación determinamos la mediatriz de A’B’, y la intersección con la recta que contiene los centros nos determinará el punto O1, centro de la circunferencia inversa de la dada, que tiene por radio O1-A’= O1-B = radio
4. Por último decir que las circunferencias de centros C y O1 son inversas y homotéticas a la vez, siendo el punto O el centro de ambas transformaciones: el centro de inversión, O = I. Es decir:  OA x OA’= OB x OB’= W.  Siendo W la potencia de inversión.

Destacar además que el inverso del centro C, el punto C’, no es el centro de la circunferencia invertida. El centro O1 se halla en la mediatriz de A’ y B’

Por lo tanto, la inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, siendo el centro de inversión (O=I) el centro de homotecia que las relaciona.

Propiedades de la inversión

Las imágenes en una inversión mantienen algunas propiedades entre sí, aunque pierden otras.
La inversión mantiene:

1. Ángulos entre curvas
2. Puntos de intersección entre curvas
3. Puntos de tangencia entre curvas

Además, dado que la imagen de una circunferencia es otra circunferencia, y se mantienen los puntos de intersección, la imagen de una figura cíclica es también cíclica.
La inversión no mantiene:

1. Ni la forma
2. Ni el tamaño

Formas de determinar una inversión

En general para realizar un ejercicio de inversión deberemos conocer los siguientes datos:

1. La circunferencia de puntos dobles (autoinversión).
2. El centro de la inversión y un par de puntos inversos.
3. El centro de la inversión y la circunferencia de autoinversión.

INVERSIÓN Solución ejercicio 1

Enunciado del ejercicio de inversión planteado aquí.
A continuación explicamos la solución por pasos del Ejercicio 1 de INVERSIÓN.

Paso 1. Calcular el radio de la circunferencia de autoinversión.

Para calcular el radio de la circunferencia de autoinversión (segmento IK) determinamos geométricamente la raíz cuadrada del producto IA·IA'. Esto es, sabemos que el producto de IA·IA' = r·r = cte. Por tanto buscamos "r", la raíz de esa constante. La construcción es la misma que haríamos para hallar un cuadrado, de lado "r", con igual superficie que el rectángulo IA por IA'.

La raíz cuadrada que buscamos se halla gráficamente en la perpendicular de I hasta el arco capaz de 90º, el radio es el segmento IK.

Paso 2.  Dibujar la circunferencia de puntos dobles o autoinversión.

Con radio IK y centro en I (centro de la inversión) determinamos la circunferencia de autoinversión. Podemos observar además que la potencia de inversión es positiva, el punto A y su transformado se encuentran al mismo lado respecto al centro de inversión.

Paso 3. Hallar el inverso del punto B.

Esta operación la podemos realizar de diferentes maneras, pero hay una que resulta inmediata. Si nos fijamos tenemos ya tres puntos, uno es A, otro su inverso A' y también B o C.
Si recordamos que una de las propiedades de la inversión es que dos puntos y sus inversos son concíclicos (están en la misma circunferencia), simplemente con trazar la circunferencia definida por A, A' y B podremos obtener B'. ¿Dónde está  B'? Pues en la intersección de la circunferencia con la recta que determinan I  y B.

Paso 4. Hallamos los inversos de los lados AB y el segmento BA'.

El lado AB, su inverso, ya lo tenemos al conocer los inversos A' (dato) y B' que hemos hallado. Para determinar el arco que define este lado podemos considerar un tercer punto de la circunferencia de puntos dobles, concretamente el que tiene su intersección con el segmento AB y la circunferencia de  autoinversión (cpd) que sabemos que es inverso de si mismo. Con los tres puntos hallamos el centro del arco con dos mediatrices y tenemos el lado recto transformado por inversión en el lado curvo B'A'.

Recordemos en este punto que el inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Paso 5. Calcular el inverso de C.

Calcular el inverso de C es inmediato puesto que las condiciones del problema nos determinaban que el triángulo es isósceles y el punto de inversión A' estaba en la perpendicular de BC con IA. Por lo tanto, el resto de nuestra figura va a ser simétrica respecto al eje que forma I-A-A'.

A continuación puedes ver la secuencia de la construcción de la figura pulsando el botón de avance en la barra inferior de navegación.

INVERSIÓN ejercicio 1

En esta ocasión realizaremos un ejercicio de inversión. Pero antes vamos a resumir los conceptos básicos de la inversión. (Puedes ver el tema completo de Inversión en el plano aquí ).

1. La inversión es una transformación con centro, donde el punto transformado está  alineado con el centro de inversión.
2. Se denomina potencia de inversión a la relación  dada por el producto de las distancias de puntos P y transformado P' al centro de inversión I. Esa relación es constante, esto es: IP·IP'=K·K=cte
3. Si la potencia de inversión es positiva, un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión. La circunferencia de autoinversión,  de radio la raíz de la potencia (K), es doble y de puntos dobles.
4. Si la potencia es negativa el centro de inversión se encuentra entre cada punto y su transformado. La circunferencia de autoinversión es doble pero no de puntos dobles.
5. Dos puntos y sus inversos son concíclicos. Las rectas que unen dos puntos y la que unen sus inversos son antiparalelas (dos a dos forman el mismo ángulo).

El ejercicio de inversión propuesto es el siguiente:

Dado un triángulo isósceles, el centro de inversión (I) y el inverso de A,  hallar el inverso del triángulo ABC.
El inverso del vértice (A) se encuentra en la intersección perpendicular de la recta IA con CB.

Pulsa aquí para ir a la solución del ejercicio 1 de inversión

EJERCICIO: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CPR

El siguiente ejercicio fue propuesto en un examen de 1º de Bachillerato. Es un problema que se puede solucionar por diferentes métodos según nuestro nivel de conocimientos. Vamos a solucionarlo de varias formas y veremos que planteandolo como una inversión la solución es inmediata.

El enunciado solicita: obtener las circunferencias tangentes a una circunferencia de centro C, una recta tangente (r) y un punto de tangencia (T) según la figura adjunta.

Análisis del problema

Si examinamos el problema  nos daremos cuenta que hay dos circunferencias solución. Una a cada lado de la recta tangente (r) que comparten el punto tangente (T) y son interiores a la circunferencia dada. Además observamos que los centros de estas circunferencias se deben situar en la perpendicular a la recta (r) que pasa por el punto de tangencia (T). El problema consiste en determinar los centros de las circunferencias solución y los puntos de tangencia con la circunferencia dada.

Existen varias maneras de resolver este problema, una es por diferencia de radios, otra aplicando el concepto de inversión y también lo podemos hacer con una circunferencia auxiliar y hallando el centro radical.

Alternativamente podemos enfocar el problema percartandonos que el arco capaz de 90º que pasa por el punto T definirá los puntos de tangencia. Por tanto bastaría con unir los extremos del diámetro, paralelo a la recta que contiene los centros de las circunferencias buscadas, con el punto T para hallar los puntos de tangencia comunes en la circunferencia dada. Esto ocurre en aplicación directa del teorema de Tales.

Sin embargo el concepto que hay detrás la solución comentada es la inversión, que además es la manera más rápida de solucionarlo. Para ello debemos suponer que la recta dada se invierte en la circunferencia y viceversa.

Solución del problema

Como decíamos si planteamos una inversión la solución es inmediata. En esta solución la circunferencia de autoinversión (en rojo) quedaría definida por los puntos de corte de la recta con la circunferencia (puntos dobles) y tendría como centro cada extremo del diámetro perpendicular a la recta (centros de inversión). Vamos a detallar los pasos.

1. Determinamos los centros de inversión, en los extremos del diámetro perpendicular a la recta.
2. Unimos los centros de inversión con el punto de tangencia que nos dan, en la intersección con la circunferencia hallamos los puntos de tangencia que buscamos.
3. Al unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en la intersección con la perpendicular por T, encontramos los centros de las circunferencias solución.

 Otra manera de solucionar el ejercicio:

1. Trazamos una circunferencia auxiliar, una del haz de circunferencias de las soluciones. Esta auxiliar será tangente en T (pasará por T) y tendrá su centro en el eje perpendicular a T.
2. Hallamos el Centro Radical, intersección del eje radical que determina la auxiliar con la circunferencia dada y la recta. El centro radical, en este caso, estará en la recta dada.
3. Dibujamos la tangente a la circunferencia auxiliar desde el Centro Radical y lo llevamos a la circunferencia del enunciado. (Nótese que en este caso podemos utilizar directamente el punto T, sin hacer la tangente a la auxiliar.)
4. Determinamos los centros de las circunferencias tangentes interiores (O1 y O2) uniendo los puntos de tangencia con el centro (C).

Puedes comprobar aquí otra manera de entender la solución, desplaza el punto verde.