Hace unos días encontré una web, Cut The Knot, donde habían recopilado más de cien demostraciones del teorema de Pitágoras. La página está en inglés y contiene imágenes muy descriptivas junto a cada demostración. El artículo de CTK lo podéis encontrar pulsando aquí.
Por otra parte el teorema de Pitágoras también lo hemos planteado, con Geogebra, en este blog: aquí. Pero ahora vamos a tratar las demostraciones más conocidas y comentaremos por qué son importantes. Así explicaremos junto al teorema de Pitágoras, el teorema del cateto y el teorema de la altura.
Comenzamos con algo de historia para conocer más sobre Pitágoras y sus discípulos.
Comenzamos con algo de historia para conocer más sobre Pitágoras y sus discípulos.
Pitágoras (Samos, Grecia 569 a.C. — Metaponto, 475 a.C.) fue un filósofo, geómetra, músico, astrónomo y también es considerado el primer matemático occidental. De Pitágoras no se ha conservado ningún escrito original, aunque sus discípulos —los pitagóricos—, sí nos dejaron numerosas aportaciones atribuidas a su maestro. Entre las aportaciones de esta escuela se encuentra el famoso teorema para los triángulos rectángulos: a²+b²=c², donde "c" es la medida de la hipotenusa y "a" y "b" son las medidas de los lados o catetos.
Los pitagóricos constituían una Sociedad que incluía por una parte a los "Matematikoi", que vivían permanentemente juntos en la Sociedad, no tenían
posesiones personales, eran vegetarianos y obedecían unas estrictas reglas. Por otra parte estaban los "Akousmáticos" que también pertenecían a la Sociedad pero eran integrantes externos, que vivían en sus propias casas, se les permitían sus propias posesiones y no se les
exigía ser vegetarianos. Una parte esencial en la forma de vida de los pitagóricos era la Filosofía. Ciencia que, según ellos, debía ser usada para la purificación espiritual.
En general la Filosofía es la disciplina que se dedica a plantear y resolver cuestiones sobre la existencia, el conocimiento, la verdad o la moral y lo hace a través del razonamiento. Filosofía es el término griego compuesto por philos (amor) y sophia (pensamiento, conocimiento). La Filosofía es por lo tanto, a grosso modo, el “amor por el conocimiento” y este era el espíritu de los pitagóricos. O como dijo Descartes siglos después: "Vivir sin filosofar es, propiamente, tener los ojos cerrados, sin tratar de abrirlos jamás".
También el filósofo español Ortega y Gasset nos dejó la siguiente frase: "No sabemos lo que nos pasa y eso es precisamente lo que nos pasa". En definitiva, los pitágoricos buscaban comprender el mundo mediante el conocimiento y su creencia más destacada era que todas las cosas son, en esencia, números.
Demostraciones del Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras expone que en un triángulo rectángulo: a²+b²=c², siendo "a" y "b" los catetos y "c" la hipotenusa. Es importante destacar que sólo hablamos de triángulos rectángulos, donde los lados más cortos (catetos) forman un ángulo de 90 grados, el teorema no se aplica a otros triángulos.
A continuación describiremos diferentes demostraciones del teorema y con la primera demostración enunciaremos dos importantes teoremas:
- Teorema del cateto
- Teorema de la altura
Demostración atribuida a Pitágoras
La demostración atribuida a Pitágoras se cree que fue por semejanza de triángulos, aplicando el teorema de Tales, de la siguiente manera.
Sea el triángulo ABC, con un ángulo recto en C, y los segmentos n y m son las proyecciones sobre la hipotenusa (c) de los catetos a y b. Siendo i la altura del triángulo y K el punto de corte de la altura con la hipotenusa. Buscamos los triángulos semejantes: los que tengan las bases en común y los ángulos iguales.
De la semejanza de los triángulos ABC y AKC obtenemos que: b/n = c/b, luego b² = n·c
De la semejanza de los triángulos ABC y BKC obtenemos que: a/m = c/a, luego a² = m·c
Sustituyendo en a²+b²=c² obtenemos que: (m·c) + (n·c) = c·(m+n) = c²
Consecuencia inmediata de esta demostración es el teorema del cateto.
I. Teorema del cateto
Si en un triángulo rectángulo ABC, donde hemos dibujado los cuadrados sobre sus lados, prolongamos una línea perpendicular a la hipotenusa (c) desde el vértice que une los catetos (a y b) comprobaremos que las áreas definidas a cada lado del punto de corte con la hipotenusa (k) son iguales a las de los catetos al cuadrado. Esto es, según la imagen siguiente, las áreas de color azul (cuadrado azul = rectángulo azul) y las áreas verdes (cuadrado verde = rectángulo verde) son iguales.
Podemos expresar que los catetos a y b al cuadrado son:
b² = AK·AB a² = BK·AB
b² = AK·AB a² = BK·AB
b² = n·c
a² = m·c
Ejemplo I. Aplicación del teorema del cateto.
Un triángulo rectángulo tiene de lados 3, 4 y 5 , ¿cuál es la altura del triángulo?
a. Aplicando el teorema del cateto calculamos la distancia AK=n, tenemos que 5·n= 3²
Por lo tanto la distancia AK es 9/5
b. Aplicando Pitágoras en el triángulo AKC y si llamamos a la altura CK=i, tenemos que (9/5)² + i² = 3² y despejando "i" ya tenemos la altura. i² = 9-(81/25) = (9·25-81)/25 = 144/25 = (12/5)²
La altura buscada es i = 12/5 = 2,40
II. Teorema de la altura
Este teorema nos indica que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura (la perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa) es igual al producto de las dos partes en que divide la altura a la hipotenusa. Efectivamente en la imagen se puede ver que la altura al cuadrado CK·CK es igual a AK·KB. Si llamamos CK=i tenemos que:
i² =AK·KB
En la imagen las áreas del cuadrado CMLK=i² y del rectángulo KBPN=AK·KB son iguales.
Si un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 y su altura CK es 12/5=2,40, ¿cuánto mide la hipotenusa?
a. Nos fijamos en el triángulo que forman AKC, y vemos que es un triángulo rectángulo con un lado AC=3 y una altura CK=i que mide 12/5=2,40. Aplicando Pitágoras obtenemos la longitud AK, así:
AK² + (12/5)² = 3² ; AK²= 9-(144/25) operando tenemos AK²=(9·25-144)/25=81/25=(9/5)²
Por lo tanto la medida AK=9/5=1,80
b. Para hallar la distancia de la hipotenusa AB, que es la suma de AK+KB, debemos averiguar KB. Esto lo hacemos aplicando el teorema de la altura.
i²=AK·KB ; (12/5)² = (9/5) · KB despejando nos queda que KB= (144·5/25·9) = 16/5 = 3,20
c. Ahora sumamos (9/5)+(16/5)=25/5=5 o lo que es igual 3,20+1,80=5. Obtenemos 5, que es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 3 y 4.
Demostración China: libro matemático del Zhou Bi
El libro Zhou Bi demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado suma de los dos catetos, que se parte en cuatro triángulos y un cuadrado de lado la hipotenusa del triángulo.
En la siguiente imagen tenéis una demostración de la prueba dada en China hecha con Geogebra. Si se desplaza el tirador inferior vemos como se transforma la figura.
Demostración de Leonardo da Vinci
Incluiré por último una demostración de Leonardo da Vinci del teorema Pitágoras. Lo tomo de wikipedia, aquí, donde lo explican de la siguiente manera:
Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
Además, (...) nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB. Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes.
Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.
Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
- Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
- Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
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- De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
- Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
- A de ADGB y A de CIJA
- B de ADGB y J de CIJA
Además, (...) nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB. Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes.
Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.
Con esta última demostración hemos terminado esta entrada del blog. A continuación os dejo unas referencias, con los enlaces correspondientes, donde podéis conseguir más información de este teorema.
Referencias
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