Hoy vamos a aprender a trazar las rectas tangentes a dos circunferencias y lo haremos de dos formas. En la mayoría de los manuales de dibujo sólo se explican los métodos de diferencia y suma de radios pero, en muchos casos, suele resultar más rápido realizar las tangentes a dos circunferencias por homología. Veremos que este método es especialmente práctico cuando trazamos las tangentes interiores.
Tangentes exteriores a dos circunferencias.
La primera construcción que haremos es por el método de diferencia de radios, tenemos que seguir los siguientes pasos:
1. Dibujar la circunferencia con diámetro la distancia entre los centros A y B de las circunferencias.
2. En la circunferencia mayor dibujamos otra circunferencia concéntrica cuyo radio es la diferencia de los radios de las dos circunferencias.
3. En la intersección de la circuferencia que hemos dibujado y la circunferencia mayor hallamos los puntos D y E.
4. A continuación trazamos los radios desde el centro B por los puntos D y E y obtenemos los puntos de tangencia exteriores T1 y T2.
5. Trazamos paralelas para obtener los puntos de tangencia T3 y T4 en la otra circunferencia:
- Los segmentos B-T1 y A-T3 son paralelos.
- Los segmentos B-T2 y A-T4 son paralelos.
Por último trazamos las rectas que pasan por T1-T3 y T2-T4 para dibujar las tangentes exteriores.
Esta construcción también la podemos realizar por homología. Veremos que en ocasiones el proceso puede ser más rápido, aunque tiene el inconveniente de que se necesita mayor espacio de dibujo para hallar el centro de la homología. La construcción es la siguiente.
1. Comenzamos por trazar dos paralelas cualquiera que pasen por los centros A y B de las circunferencias. Estas rectas cortan a las circunferencias en cuatro puntos.
2. Con una recta unimos los puntos de intersección que hemos hallado. Los dos puntos de la zona superior al eje de los centros por una parte y por otra los dos de la zona inferior. En la intersección de las dos rectas encontramos el centro de la homología, el punto K.
3. Trazamos las tangentes desde el punto k a las dos circunferencias. Primero trazando el arco capaz de 90º entre el punto K y el centro A. Después, en la intersección del arco con la circunferencia, hallamos los dos puntos de tangencia de la primera circunferencia.
Por último trazamos las rectas tangentes, desde el centro de homología hasta los puntos de tangencia de la primera circunferencia. Observamos que las rectas también son tangentes en la segunda circunferencia.
Si queremos determinar con exactitud los puntos de tangencia en la segunda circunferencia bastará trazar un nuevo arco capaz entre K y el centro B.
Tangentes interiores a dos circunferencias.
Realizamos la primera construcción por el método de suma de radios, es igual que antes pero ahora sumamos los radios. La construcción es la siguiente:
1. Dibujamos la circunferencia de diámetro la distancia entre los centros (A y B) de las circunferencias.
2. En la circunferencia mayor dibujamos otra circunferencia concéntrica cuyo radio es la suma de los radios.
3. En la intersección de las dos circunferencias hallamos los puntos D y E.
4.
A continuación trazamos los radios desde el centro B por los puntos D y
E y obtenemos los puntos de tangencia interiores T1 y T2.
5. Trazamos paralelas para obtener los puntos de tangencia T3 y T4 en la otra circunferencia:
- Los segmentos B-T1 y A-T4 son paralelos.
- Los segmentos B-T2 y A-T3 son paralelos.
Por último trazamos las rectas que pasan por T1-T4 y T2-T3 para dibujar las tangentes interiores.
Como antes, esta construcción también la podemos realizar por homología. Ahora el proceso es más rápido y no tenemos problemas de espacio porque el centro de la homología está entre las dos circunferencias. La construcción es la siguiente.
1. Comenzamos por trazar dos paralelas cualquiera que pasen por los centros A y B de las circunferencias. Estas rectas cortan a las circunferencias en cuatro puntos.
2.
Con una recta unimos los puntos de intersección que hemos hallado. A diferencia del caso anterior ahora unimos un
punto de la zona superior con otro de la zona
inferior. En la intersección de las dos rectas encontramos
el centro de la homología, el punto K. En esta ocasión este punto se encuentra entre los centros de las circunferencias.
3. Hallamos los puntos de tangencia en las circunferencias. Desde el punto k trazamos el arco capaz de 90º hasta los centros A y B. En
la intersección de los arcos con las circunferencias encontramos los puntos de tangencia.
Por último trazamos las rectas tangentes. Desde el centro de homología
trazamos dos rectas hasta los puntos de tangencia, vemos que las tangentes pasan por los puntos T4-K-T1 y T3-K-T2.
Este caso se resuelve realizando las bisectrices de las rectas. Las bisectrices de dos rectas serán el lugar geométrico donde encontraremos los centros de las circunferencias.
A continuación se muestra la solución en geogebra. Puedes ver la solución paso a paso utilizando la barra de navegación inferior.
Este caso se resuelve realizando las bisectrices de las rectas. Las bisectrices de dos rectas serán el lugar geométrico donde encontraremos los centros de las circunferencias.
