La mediatriz

Definición:

Se define como mediatriz a la recta, lugar geométrico, cuyos puntos son equidistantes a los extremos de un segmento perpendicular a dicha recta.

Mediatriz de un segmento: Si AB es un segmento y P un punto que equidista de los puntos A y B, donde los segmentos AP y BP son iguales. Entonces la recta bisectriz del ángulo que forman APB es la mediatriz de ese segmento.

Fig.1

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico -la recta- de los puntos del plano que equidistan de los extremos de dicho segmento.

Su importancia geométrica:

Cuando un polígono tiene una circunferencia circunscrita se llama polígono cíclico. Las mediatrices de los lados de estos polígonos se cortan en el centro de esa circunferencia.
Este punto se denomina circuncentro.

Fig. 2

Existen diversos casos en que debemos hallar las mediatrices para solucionar un problema. Si tenemos un polígono o una serie de puntos, los vértices, de un polígono cíclico podremos averiguar el centro de la circunferencia que los circunscribe. También podemos utilizar las mediatrices para averiguar el lugar geométrico equidistante entre dos puntos.

Esto último puede tener aplicaciones interesantes en programas de localización para, por ejemplo, optimizar recorridos de un vehículo (una ambulancia, etc.).

Un ejemplo clásico es el llamado problema de Manhattan o de la geometría del taxista.

En la geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos resulta de la unión mediante una recta de esos puntos. Sin embargo esto no es así cuando la referencia del sistema varía. Por ejemplo en una geometría curva, como la de nuestro universo o la de la Tierra, la distancia más corta entre dos puntos ya no es una recta sino una curva. Para ir de Sídney a Madrid el avión trazará una línea curva para seguir el recorrido más económico.

Sin embargo podemos suponer otros sistemas de referencia en el plano, como el que se produce en ciertas ciudades con gran regularidad. Ciudades donde el diseño de sus manzanas es prácticamente una cuadrícula. Es el caso de de Nueva York en el área de Manhattan o de Barcelona en su ensanche.

Fig.3

En estos casos si un taxista quiere ir de un extremo a otro de la ciudad se encuentra que las distancias de la geometría clásica ya no son siempre válidas. No puede ir en diagonal atravesando edificios. En estos casos la mediatriz adquiere gran importancia para optimizar los recorridos.