La inversión de un punto A respecto a una circunferencia de centro I, es el único punto A’ de la recta que forman I y A donde se cumple que IA • IA’ = r·r. Siendo r el radio de la circunferencia.
La inversión es una transformación que no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Sin embargo la inversión es una transformación que conserva las relaciones angulares.
Al igual que ocurre con las homotecias la inversión es una transformación con centro donde un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de inversión. Si llamamos I al centro de inversión y P a un punto y P’ a su inverso, el producto de las distancias de estos puntos al centro de inversión es constante y se denomina potencia de inversión (W).
Al igual que ocurre con las homotecias la inversión es una transformación con centro donde un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de inversión. Si llamamos I al centro de inversión y P a un punto y P’ a su inverso, el producto de las distancias de estos puntos al centro de inversión es constante y se denomina potencia de inversión (W).
IP • IP’ = K • K = W = cte
Cuando un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión decimos que la inversión es positiva. En cambio cuando el centro de inversión se encuentra entre un punto y su transformado decimos que la inversión es negativa.
La diferencia entre potencia e inversión consiste en que mientras la potencia es la relación entre un punto y una circunferencia, la inversión es una transformación que se puede aplicar a todos los puntos del plano.
Circunferencia de autoinversión
Si la potencia de inversión es positiva, los puntos que se encuentran a distancia K del centro son dobles. La circunferencia de radio la raíz de la potencia (W), esto es de valor K, es una circunferencia de puntos dobles (c.p.d) denominada circunferencia de autoinversión.
Si la potencia de inversión es negativa, la circunferencia de autoinversión es doble pero sus puntos no son dobles.
Es importante conocer que dos puntos y sus inversos son concíclicos, o lo que es lo mismo que decir que los puntos se sitúan en una circunferencia. Este hecho es importante porque nos permitirá resolver diversos problemas relacionados con la inversión.
Rectas antiparalelas
Por otra parte, las rectas que unen dos puntos (A y B) y las que unen sus inversos (A’ y B’) son antiparalelas: dos a dos forman el mismo ángulo.
Por el teorema de Tales sabemos que al cortar dos rectas a y b concurrentes en un punto I, por otras dos rectas r y s, se obtienen dos triángulos semejantes (IAB - IA’B’) de forma tal que IA/IB=IB’/IA’. En forma de producto resultaría así:
IA•IA’= IB•IB’
Por lo tanto, cuando dos rectas concurrentes en I (a y b) son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas (r y s) en puntos inversos de una inversión de centro I, obtenemos una pareja de triángulos semejantes.
(Recordemos que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales).
Inversa de una recta
Con la inversión de una recta tenemos dos casos:
a) Si una recta pasa por el centro de inversión la figura inversa de esta es la misma recta.
b) Si una recta no pasa por el centro de inversión su figura inversa es una circunferencia, que pasa por el centro de la inversión, cuyo centro se halla en la perpendicular trazada desde el centro de inversión a la recta.
Inversa de una circunferencia.
a) Cuando la circunferencia pasa por el centro de inversión.
Antes hemos dicho que si invertimos una recta que no pasa por el centro de inversión el lugar geométrico inverso es una circunferencia que si pasa por el centro de inversión. Al ser la inversión una transformación reciproca, es decir, si el inverso de un punto A es A’ y el inverso de A’ es A, podemos decir que si invertimos una circunferencia que pasa por el centro de inversión el resultado será una recta que no pasa por él. Vamos a deducirlo.
Efectivamente si tenemos un punto M y el centro de una inversión (punto I) el ángulo en M inscrito en una semicircunferencia es recto (esto es, es un arco capaz de 90º). Si a continuación invertimos un segundo punto N, el segmento N’M’ debe formar un ángulo recto con la recta N’N (ángulos en rectas antiparalelas). Al repetir esta operación para los infinitos puntos de la circunferencia obtenemos la recta inversa.
Antes hemos dicho que si invertimos una recta que no pasa por el centro de inversión el lugar geométrico inverso es una circunferencia que si pasa por el centro de inversión. Al ser la inversión una transformación reciproca, es decir, si el inverso de un punto A es A’ y el inverso de A’ es A, podemos decir que si invertimos una circunferencia que pasa por el centro de inversión el resultado será una recta que no pasa por él. Vamos a deducirlo.
Efectivamente si tenemos un punto M y el centro de una inversión (punto I) el ángulo en M inscrito en una semicircunferencia es recto (esto es, es un arco capaz de 90º). Si a continuación invertimos un segundo punto N, el segmento N’M’ debe formar un ángulo recto con la recta N’N (ángulos en rectas antiparalelas). Al repetir esta operación para los infinitos puntos de la circunferencia obtenemos la recta inversa.
Como dos puntos y sus inversos son concíclicos, las rectas que unen dos puntos y las que unen sus inversos son antiparalelas de las rectas que unen cada punto con su inverso (dos a dos forman el mismo ángulo). Por lo tanto, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa él. Y la dirección de dicha recta será perpendicular al diámetro que contiene el centro de inversión.
b) Cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión.
¿Qué ocurre cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión? En este caso nos ayudaremos de la siguiente figura. Veremos que si definimos una inversión mediante la circunferencia de autoinversión (c.p.d.) de centro O, y la circunferencia que queremos invertir, de centro C, tiene los puntos A y B como extremos del diámetro definido por la recta que une ambas circunferencias. Entonces ocurre lo siguiente:
Por lo tanto, la inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, siendo el centro de inversión (O=I) el centro de homotecia que las relaciona.
Propiedades de la inversión
Las imágenes en una inversión mantienen algunas propiedades entre sí, aunque pierden otras.
La inversión mantiene:
La inversión no mantiene:
Formas de determinar una inversión
En general para realizar un ejercicio de inversión deberemos conocer los siguientes datos:
b) Cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión.
¿Qué ocurre cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión? En este caso nos ayudaremos de la siguiente figura. Veremos que si definimos una inversión mediante la circunferencia de autoinversión (c.p.d.) de centro O, y la circunferencia que queremos invertir, de centro C, tiene los puntos A y B como extremos del diámetro definido por la recta que une ambas circunferencias. Entonces ocurre lo siguiente:
- El centro O1 de la circunferencia inversa de la dada estará en la recta que une los centros O y C. Si desde A trazamos la tangente A-TA a la circunferencia de autoinversión y desde TA la perpendicular a CO, entonces determinamos el punto A’, inverso del A.
- Si desde B trazamos la tangente B-TB a la circunferencia de autoinversión y desde TB la perpendicular a CO, ahora determinamos el punto B’, inverso del B.
- A continuación determinamos la mediatriz de A’B’, y la intersección con la recta que contiene los centros nos determinará el punto O1, centro de la circunferencia inversa de la dada, que tiene por radio O1-A’= O1-B = radio
- Por último decir que las circunferencias de centros C y O1 son inversas y homotéticas a la vez, siendo el punto O el centro de ambas transformaciones: el centro de inversión, O = I. Es decir: OA x OA’= OB x OB’= W. Siendo W la potencia de inversión.
Destacar además que el inverso del centro C, el punto C’, no es el centro de la circunferencia invertida. El centro O1 se halla en la mediatriz de A’ y B’
Por lo tanto, la inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, siendo el centro de inversión (O=I) el centro de homotecia que las relaciona.
Propiedades de la inversión
Las imágenes en una inversión mantienen algunas propiedades entre sí, aunque pierden otras.
La inversión mantiene:
- Ángulos entre curvas
- Puntos de intersección entre curvas
- Puntos de tangencia entre curvas
La inversión no mantiene:
- Ni la forma
- Ni el tamaño
Formas de determinar una inversión
En general para realizar un ejercicio de inversión deberemos conocer los siguientes datos:
- La circunferencia de puntos dobles (autoinversión).
- El centro de la inversión y un par de puntos inversos.
- El centro de la inversión y la circunferencia de autoinversión.
