miércoles, 8 de marzo de 2017

Los cinco postulados y el algoritmo de Euclides

Cuando se habla de aportaciones a la geometría y por extensión a las matemáticas uno de los personajes destacados es Euclides de Alejandría: considerado el padre de la geometría. 

La vida de Euclides  (aprox. 325 a.C, Grecia - 265 a.C) es poco conocida sin embargo su obra,  concretamente los Elementos, es posiblemente la más importante de la geometría.  Aún hoy se debate si fue Euclides el que escribió los Elementos en su totalidad o si tuvo numerosas aportaciones de sus discípulos. Y es que los Elementos  es un compendio de 13 volúmenes que exponen los conocimientos acumulados hasta ese momento (300 a.C). 

Cabe destacar que los Elementos se conoció en Europa Occidental cuando fue traducida al latín de una copia árabe (por un monje llamado Adelardo de Bath) en torno al año 1120. La primera copia impresa se hizo en Venecia en 1482 y desde entonces es el segundo libro más reproducido, total o parcialmente, por detrás de la Biblia y por delante de otros como Harry Potter, el libro Rojo de Mao o el Quijote.

Los Elementos se basan en cinco axiomas (proposiciones ciertas, evidentes, sin demostración) también llamados nociones y en cinco postulados (que son proposiciones no evidentes, ni demostradas pero aceptadas). A partir de los postulados se deducen 465 proposiciones ciertas que son la base de la geometría y las matemáticas (teoría de números) modernas.

Vamos a enunciar los axiomas:
  1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
  2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
  3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
  4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte.
Y los 5 postulados de Euclides:
  1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera.
  2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Si una línea recta corta a otras dos de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
El quinto postulado es el llamado de las paralelas. Se suele enunciar así: "Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela".

Imagen tomada de wikipedia aquí

Siglos después se comprobó que el último postulado sólo es cierto siempre que supongamos un espacio Euclideo. En general el quinto postulado no es cierto porque existen otro tipo de geometrías, llamadas no Euclideas.


El algoritmo de Euclides 
  
Pasemos a continuación a explicar en qué consiste el algoritmo de Euclides.

Imaginemos que tenemos una fiesta y queremos hacer unos bocadillos. Tenemos una barra de pan de dimensión AB y otra barra de pan algo menor de la mitad de la primera y de dimensiones CD. ¿Cuál es la mayor medida común por la que debemos cortar nuestras dos barras de pan para que los bocadillos sean iguales? 

La respuesta es igual a conocer el Máximo Común Divisor de AB y CD, se expresa así:

mcd (AB, CD)


Imagen cedida por JLPG

Si nos fijamos en la imagen lo que hacemos es dividir el pan mayor, entre el de menor tamaño y nos queda un pedazo restante: llamado resto (EF). Si a continuación dividimos el pan menor (CD) entre el resto (EF) observamos que lo divide en partes iguales y que ya no hay ningún resto.

Cuando no tenemos un resto significa que la medida anterior (EF) es un máximo común divisor de ambas barras de pan. Por lo tanto para aprovechar mejor el pan y hacer bocadillos iguales deberán ser de tamaño EF.

Vamos a ver un ejemplo con números. Queremos hallar el máximo común divisor de 3468 y 468, mcd (3468, 468). Si observamos la siguiente imagen comenzamos por dividir 3468 entre 468 y obtenemos un resto de 192. Como nuestro primer resto no es cero, tenemos que seguir dividiendo. Ahora dividiremos nuestro divisor anterior entre el resto que nos había quedado. Así sucesivamente hasta llegar a un resto cero.


Al dividir 24 entre 12 nos da un resto cero. Por lo tanto el mcd (3468, 468) = 12.
Además si factorizamos 3468=2·2·3·17·17 y 468=2·2·3·3·13 observamos que los factores comunes con menor exponente son 2^2·3=12.

Efectivamente podemos ver para comprobarlo que la fracción irreducible de 3468/468 = 289/39, donde 289 y 39 son el resultado de dividir entre 12 el numerador y el denominador.

Expresado de manera matemática el algoritmo de Euclides consiste en dados dos números naturales  a y b , con a>b para calcular el mcd(a,b) hacemos la división entera de a entre b. El resultado se puede expresar como a=c·b+r , donde c es el cociente y r el resto. Tenemos dos posibilidades:

1.) Si r = 0, entonces el mcd(a,b) = b y se ha terminado de calcular.
2.) Si el resto no es cero entonces el mcd(a,b) = mcd(b,r1) y repetimos el proceso anterior dividiendo b entre r1.

Si el resto no es cero, repetimos sucesivamente el proceso hasta que tengamos un resto cero.


Importante: Por último un apunte para la resolución de problemas en los que nos piden calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números. Si tenemos dos números "a" y "b" entonces se cumple que:

m.c.d.(a,b) · m.c.m.(a,b) = a·b

 

En nuestro ejemplo habíamos dicho anteriormente que 3468=2·2·3·17·17 y 468=2·2·3·3·13 luego el m.c.d.(3468,468)=2·2·3 y el m.c.m.(3468,468)=2·2·3·3·17.17. Operando podemos ver que se cumple que al multiplicar el máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de dos números el resultado es igual a su producto 3468·468=m.c.d.(3468,468)·m.c.m.(3468,468)= 2^4·3^3·13·17^2.


Referencias


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