Trazar una ELIPSE por AFINIDAD

En esta ocasión veremos cómo trazar una elipse por el método de  afinidad, mediante dos circunferencias concéntricas.

Cuando tenemos los dos ejes de una elipse (AB y CD) que se cortan perpendicularmente en su punto medio (centro O de la elipse) podemos dibujar la elipse ayudándonos de dos circunferencias concéntricas con diámetros iguales a los ejes.

1. Comenzaremos por dibujar dos circunferencias de radios OA y OC.

2. A continuación trazaremos un diámetro cualquiera de la circunferencia mayor que cortará a las circunferencias en cuatro puntos: P1, P2, P3 y P4.

3. Por los puntos de corte en la circunferencia exterior, P1 y P4, dibujamos una paralela al eje menor CD mientras que por los puntos de corte de la circunferencia interior, P2 y P3, dibujamos una paralela al eje mayor AB. En la intersección de las paralelas por P1 y P2 encontraremos el primer punto de la elipse, el punto P.

 

4. Repitiendo el proceso con diferentes diámetros de corte hallaremos los sucesivos puntos de la elipse. Por último, ayudándonos de una regla de curvas o a mano alzada podremos completar el trazado de la elipse.

 

A continuación la resolución hecha con la aplicación Geogebra. Pulsa en la barra de navegación para visualizar la construcción por pasos y utiliza el ratón para hacer zoom, desplazarte por el dibujo o variar la posición de las figuras.

APOLONIO rrr

El siguiente problema de Apolonio que veremos consiste en determinar las circunferencias tangentes a tres rectas. Es el caso RRR y tiene CUATRO soluciones.

Este caso se resuelve realizando las bisectrices de las rectas. Las bisectrices de dos rectas serán el lugar geométrico donde encontraremos los centros de las circunferencias.

En la intersección de dos bisectrices encontraremos los centros de las circunferencias tangentes a las tres rectas.

Una vez hallados los centros, para determinar los radios de las circunferencias tangentes, trazamos la perpendicular a las rectas.

Recordemos que una tangente es perperpendicular al radio de la circunferencia por el punto de tangencia. De esta manera obtenemos el radio de las diferentes circunferencias.

Si repetimos el proceso hallaremos el resto de las circunferencias tangentes. En la siguiente imagen se muestran las cuatro soluciones que son tangentes a las tres rectas a la vez.

A continuación se muestra la solución en geogebra. Puedes ver la solución paso a paso utilizando la barra de navegación inferior.

HIPÉRBOLA. TANGENTES E INTERSECCIONES.

La HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F y F´, es constante e igual al eje real AB. PF – PF´ = AB

La hipérbola es una curva abierta plana, con dos ramas y es simétrica respecto a los dos ejes. Si denominamos 2a la longitud del eje real (distancia AB) y 2b la longitud del eje imaginario (distancia CD) y 2c la distancia entre focos, entonces se cumplirá que:  c² = a²+b²

Se denomina Circunferencia Principal (Cp) a la circunferencia de centro O y diámetro 2a. La circunferencia principal se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares, trazadas desde los focos a las tangentes de la hipérbola.

La circunferencia principal es el punto medio de los segmentos que unen un foco con la circunferencia focal del otro foco y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la hipérbola.

La Circunferencia Focal (Cf) de la hipérbola tiene centro (F) en uno de los focos y radio 2a. En la hipérbola, al igual que en la elipse, hay dos circunferencias focales.

La circunferencia focal de la hipérbola (con centro en el foco F) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F´) respecto a las tangentes.

En la siguiente imagen se observan las proporciones y las condiciones angulares que se establecen entre los diferentes elementos de una hipérbola: focos, ejes, circunferencias focales, circunferencia principal, asíntotas, tangente desde un punto, radios vectores y proporciones de los semiejes a, b y c. (Identifícalas en el dibujo).

La hipérbola, al igual que la elipse, tiene dos focos y dos circunferencias focales. Podemos definir también la HIPÉRBOLA como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la circunferencia focal y de un foco. 

Como se observa en siguiente imagen la hipérbola es el lugar geométrico que definen los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal. 

A continuación vamos a resolver los problemas que se pueden presentar con este tipo de cónicas. Son los siguientes.

1. TRAZAR LAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA POR UN PUNTO EXTERIOR

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1

Otra manera de resolver este problema sería la siguiente.

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1-bis

2. TRAZAR LAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA DADA UNA DIRECCIÓN

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 2

3. DETERMINAR LAS INTERSECCIONES DE UNA RECTA CON UNA HIPÉRBOLA

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 3

PARÁBOLA. TANGENTES E INTERSECCIONES.

En esta ocasión veremos como se realizan las tangentes e intersecciones con rectas a una parábola. Para comenzar definiremos la parábola y sus elementos.

La PARÁBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.

La DIRECTRIZ (d) es perpendicular al eje de simetría de la parábola y es también la circunferencia focal, de centro impropio y radio infinito y por lo tanto una recta: d=Cf.

El VÉRTICE (V) está a la misma distancia del foco y del punto intersección del eje de simetría con la directriz (O). Luego V equidista de O y de F y OV=VF.

Los RADIOS VECTORES van de un punto P de la parábola al foco (F) y de P al simétrico del foco (N) respecto a la tangente por P.

El punto N es también la intersección de la directriz con la perpendicular desde P a la misma directriz. Por lo tanto ambos vectores miden igual: NP=FP.

La TANGENTE en un punto (P) es la recta bisectriz del ángulo que forman los radios vectores y coincide con la mediatriz del segmento que une el foco (F) con su simétrico (N).

tangente = bisectriz de NPF
tangente = mediatriz de NF   

En base a lo anterior, la PARÁBOLA la podemos definir también como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la directriz que pasan por el foco.

La CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL de la parábola es de radio infinito y centro impropio, es la recta perpendicular al eje de simetría que pasa por el vértice V. Por lo tanto contiene los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes. De esta manera podríamos obtener una parábola: dibujando las tangentes que envuelven a la curva.

Podemos observar en la figura adjunta que un punto de la parábola (P) y la intersección de la tangente por ese punto con el eje de simetría, punto K, equidistan del foco: FP=FK.

Manejando todas las propiedades vistas de la parábola podremos resolver los problemas que se puedan plantear con este tipo de curvas.

1. RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR 

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1

 Otra manera de resolver el problema, mediante la circunferencia principal.

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1-bis

2. RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA DADA UNA DIRECCIÓN

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 2

3. INTERSECCIÓN DE RECTA CON PARÁBOLA, DADA POR SU FOCO Y DIRECTRIZ

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 3

ELIPSE. TANGENTES E INTERSECCIONES.

En esta ocasión veremos como se realizan las tangentes e intersecciones con rectas a una elipse. Para comenzar definiremos que es una elipse y una circunferencia focal.

La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

La CIRCUNFERENCIA FOCAL es el lugar geométrico de los puntos simétricos al foco respecto a las tangentes de una curva cónica (elipses, parábolas e hipérbolas).

La circunferencia focal (Cf) de la elipse es la de radio el eje mayor y centro en un foco. La elipse y la hipérbola poseen dos circunferencias focales mientras que en la parábola hay una, de centro impropio y coincidente con la recta directriz. .

La TANGENTE por un punto T de una elipse se halla mediante la bisectriz del ángulo F2-T-N o realizando la mediatriz del segmento que comprende desde el foco F2 hasta N, punto en la circunferencia focal situado en prolongación de T desde el foco opuesto F1.

Una vez definida la cónica y sus elementos principales, existen una serie de problemas o casos tipo que debemos conocer como se resuelven. Son los siguientes.

1. TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1

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2. TANGENTES A UNA ELIPSE PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 2
 

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3. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A LA FOCAL POR TRES PUNTOS M, N, P

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 3

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4. PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y ELIPSE DEFINIDA POR SUS EJES

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 4
 

5. EJES DE LA ELIPSE CONOCIENDO DOS TANGENTES, UN PUNTO Y UN FOCO

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 5

Si dibujamos la elipse, sombreada, el problema resuelto quedaría como en la siguiente imagen.
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6. EJES DE LA ELIPSE CONOCIENDO TRES TANGENTES Y UN FOCO

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 6

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7. DADOS LOS FOCOS Y LA C.PPAL. HALLAR LAS TANGENTES DESDE UN PUNTO

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 7

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8. DADA UNA ELIPSE Y UNA RECTA QUE LA CORTA, DETERMINAR EL CENTRO RADICAL Y LAS TANGENTES A LA CIRCUNFERENCIA FOCAL DE LA CÓNICA

Este ejercicio nos sirve para aplicar los conocimientos de eje radical (lugar geométrico con igual potencia respecto a dos circunferencias) y centro radical (lugar geométrico de las circunferencias ortogonales y punto de igual potencia respecto a tres circunferencias).

El método empleado nos servirá para resolver problemas con condiciones angulares. En este caso para hallar el centro radical CR se trazan o DOS circunferencias auxiliares, con centros en la recta y radios hasta el foco o una que corte o sea tangente a la circunferencia focal-1 pasando por el foco-2.

Se hallan así dos ejes radicales que se cortan en el punto buscado CR y se comprueba que las tangentes a la circunferencia focal por los puntos en prolongación T (puntos de tangencia en la focal) se cortan en el centro radical.