sábado, 22 de julio de 2017

APOLONIO PPc

El tercer problema de Apolonio consiste en determinar las circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a una circunferencia dada.

Para comprender el procedimiento debemos, primero, conocer los conceptos de eje radical de dos circunferencias y el concepto de centro radical  (en el blog lo hemos explicado aquí y también aquí).

Una vez entendido lo anterior el problema de Apolonio PPc se reduce a encontrar  aquellas circunferencias que, con centro en la mediatriz de los puntos dados A y B, cumplan también la condición de tangencia con la circunferencia dada.

Haz elíptico (de A y B)
O lo que es lo mismo, este procedimiento equivale a encontrar las dos circunferencias del "haz elíptico" de circunferencias de A y B que cumplen la condición de tangencia con la circunferencia.

Primero, para hallar las circunferencias de la solución, nos servimos de una circunferencia AUXILIAR. Esta circunferencia de apoyo será cualquiera perteneciente al haz de circunferencias y tendrá la condición de que CORTE a la circunferencia dada.

Se utiliza una circunferencia auxiliar que corte a la dada para poder obtener el eje radical de dos circunferencias. A continuación hallamos el eje radical de los puntos A y B. Con los dos ejes radicales ya podremos obtener el centro radical CR.

Hallamos el centro radical porque en él se va a cumplir una condición importante: la potencia desde el centro radical (CR) hasta los puntos de tangencia de la circunferencia dada es igual a la potencia desde CR a las circunferencias solución. Así este procedimiento nos permite hallar los CENTROS de las circunferencias solución a través de los puntos de tangencia.

Por lo tanto debemos hallar los puntos de tangencia en la circunferencia dada (arco capaz de 90º sobre O-CR).  Cuando conocemos los puntos de tangencia bastará unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia dada y en la intersección con la mediatriz de A y B estarán los centros de las circunferencias solución.

En la siguiente imagen realizada con GeoGebra puedes ver, por pasos, la solución de este problema.

Recuerda que puedes pulsar en la barra de navegación para visualizar la construcción por pasos y utiliza el ratón para hacer zoom, desplazarte por el dibujo o variar la posición de las figuras.


En el índice del blog, en Dibujo Técnico, podrás consultar los demás casos (también pulsando aquí).
En las pruebas de acceso a la universidad también se han planteado ejercicios de este caso de los problemas de Apolonio, aquí puedes ver un ejemplo:  Ejercicio de 2008 PAU

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