Cambios de base. Sistemas binario, decimal, octal...

Un tema destacado con la introducción de las nuevas tecnologías es comprender cómo se pasa de un sistema decimal, el que empleamos habitualmente, a otro sistema como el binario utilizado por los computadores. Y viceversa, cómo pasar de un sistema por ejemplo hexadecimal a nuestro sistema decimal.

Cambio de decimal a base siete

En nuestro sistema de numeración empleamos diez digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tenemos un sistema en base diez. Sin embargo existen otros sistemas de numeración que en ocasiones pueden ser más utiles para una determinada tarea.

Así en un sistema binario empleamos sólo dos cifras: 0, 1. Mientras que en un sistema octal empleamos ocho: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Si es hexadecimal utilizaremos dieciséis cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

En ocasiones puede resultar mejor trabajar en una base diferente a la decimal. Si por ejemplo queremos expresar el número 4.294.967.297 de una forma más cómoda podríamos hacerlo expresándolo como una potencia de dos y sumado una unidad así: 1+2^32. Concretamente el número anterior es número de Fermat. Y en la imagen siguiente vemos como dando valores a n= 1, 2, 3,... obtenemos estos números. En nuestro ejemplo n = 5.

Los números de Fermat tienen curiosas propiedades, una es que son fáciles de escribir si los expresamos en base hexadecimal. Para hacer esto basta con escribir un 1 y colocar 2^n-2 - 1 ceros, luego escribiríamos otro 1 al final y tendríamos el número de Fermat en base hexadecimal. Nuestro ejemplo con n=5 resultaría 2^5-2-1 = 2³-1= 7. Colocaríamos siete ceros, sería de la siguiente manera:

Cuando pasamos un número de una base a otra o cuando trabajamos en una base diferente a la decimal: escribimos un paréntesis bajo al final del número indicando su base.

Con el ejemplo anterior hemos visto que en ocasiones puede resultar más fácil trabajar en una base que no sea decimal. Así las computadoras utilizan el sistema binario para hacer cálculos. Pero, ¿cómo pasamos de un sistema decimal a uno binario? Veamos un ejemplo para entenderlo.

Vamos a calcular el número 230 en base decimal y lo pasaremos a base dos, binario.

Como podemos observar en la imagen realizamos divisiones sucesivas del número dado en base decimal entre la base a la cual queremos transformar el número, en este caso 2. Así vamos obteniendo unos restos, que al dividir entre 2 sólo pueden ser 0 y 1.

Cuando llegamos a un cociente menor que la base, en este caso 1, dejamos de dividir. Para escribir el número en base dos lo único que tenemos que hacer es escribir el último cociente (1) seguido de los restos que nos habían quedado (1100110) en orden inverso a como los habíamos obtenido y tendremos el número en base dos o binario, así 230 en decimal es 11100110 en binario.

El proceso anterior sirve para pasar cualquier número en base decimal a otra base, basta realizar la divisiones sucesivas entre el valor de la base. Pero, ¿cómo pasamos de una base x a nuestro sistema decimal?

Paso de un número "m" en una base dada al sistema decimal 

Para poder realizar el proceso inverso, el paso de un número escrito en una base cualquiera diferente a la decimal primero debemos conocer el Teorema fundamental de la numeración, que dice lo siguiente.

En una base b>1, todo número natural "m" se expresa de forma única mediante la expresión

donde los coeficientes (a0, a1...) son números naturales menores que "b".


Conocido el teorema de la numeración, vamos a pasar un número dado en una base diferente a la decimal con la ecuación anterior. Supongamos que queremos pasar al sistema decimal el número 4310 escrito en base 5. Entonces haremos lo siguiente:

 

Lo que hemos hecho ha sido ir cifra por cifra y aplicamos el teorema fundamental de la numeración. Multiplicamos cada coeficiente por la base elevada según la posición de la cifra. Así 4 estará multiplicado por la base 5 elevada a 3, el siguiente número, el 3, estará multiplicado por la base 5 elevada a 2, y así sucesivamente.

Vamos a realizar otro ejemplo con el número en binario anterior. Queremos pasar 11100110 escrito en binario a sistema decimal. Aplicamos la fórmula.

Comprobamos después de operar que el resultado es 230 en sistema decimal, tal y como habíamos calculado anteriormente al realizar el proceso inverso.

Anotación final - Fórmula general

 

Con la expresión descrita anteriormente en el teorema fundamental de la numeración podemos escribir los números naturales. Si quisiéramos escribir un número con cifras decimales deberíamos emplear la siguiente formulación, donde debemos tener en cuenta la posición de la coma y el número de cifras decimales.

A título informativo, la fórmula general para expresar un número en sistema de numeración posicional de base b, sería la siguiente:

En sistema decimal incluyendo cifras decimales esta:

Donde "d" son ahora los coeficientes y a partir de "d0" tenemos la parte decimal. Si queremos hacerlo en otra base cambiaríamos el 10 por el número de la base.

Ejemplo. Para expresar 1492,36 en sistema decimal podríamos realizarlo así:

Para concluir con esta entrada al blog, os dejo unos enlaces a diferentes herramientas online para calcular números en distintas bases.


Referencias

WIMS. Calculadora online para realizar cambios de base.
Teorema fundamental de la numeración.

Sistemas de numeración. Recursos.
Ejercicios de cambios de base en PDF.
Wikipedia. Sistemas de numeración.

El Teorema de Pitágoras con 118 demostraciones

Hace unos días encontré una web, Cut The Knot, donde habían recopilado más de cien demostraciones del teorema de Pitágoras. La página está en inglés y contiene imágenes muy descriptivas junto a cada demostración. El artículo de CTK lo podéis encontrar pulsando aquí. 

Por otra parte el teorema de Pitágoras también lo hemos planteado, con Geogebra, en este blog: aquí. Pero ahora vamos a tratar las demostraciones más conocidas y comentaremos por qué son importantes. Así explicaremos junto al teorema de Pitágoras, el teorema del cateto y el teorema de la altura.

Comenzamos con algo de historia para conocer más sobre Pitágoras y sus discípulos.

Pitágoras (Samos, Grecia 569 a.C. — Metaponto, 475 a.C.) fue un filósofo, geómetra, músico, astrónomo y también es considerado el primer matemático occidental. De Pitágoras no se ha conservado ningún escrito original, aunque sus discípulos —los pitagóricos—,  sí nos dejaron numerosas aportaciones atribuidas a su maestro. Entre las aportaciones de esta escuela se encuentra el famoso teorema para los triángulos rectángulos: a²+b²=c², donde "c" es la medida de la hipotenusa y "a" y "b" son las medidas de los lados o catetos. 

Los pitagóricos constituían una Sociedad que incluía por una parte a los "Matematikoi", que vivían permanentemente juntos en la Sociedad, no tenían posesiones personales, eran vegetarianos y obedecían unas estrictas reglas.  Por otra parte estaban los "Akousmáticos" que también pertenecían a la Sociedad pero eran integrantes externos, que vivían en sus propias casas, se les permitían sus propias posesiones y no se les exigía ser vegetarianos. Una parte esencial en la forma de vida de los pitagóricos era la Filosofía. Ciencia que, según ellos, debía ser usada para la purificación espiritual. 

En general la Filosofía es la disciplina que se dedica a plantear y resolver cuestiones sobre la existencia, el conocimiento, la verdad o la moral y lo hace a través del razonamiento. Filosofía es el término griego compuesto por philos (amor) y sophia (pensamiento,  conocimiento). La Filosofía es por lo tanto, a grosso modo, el “amor por el conocimiento” y este era el espíritu de los pitagóricos. O como dijo Descartes siglos después: "Vivir sin filosofar es, propiamente, tener los ojos cerrados, sin tratar de abrirlos jamás".

También el filósofo español Ortega y Gasset nos dejó la siguiente frase: "No sabemos lo que nos pasa y eso es precisamente lo que nos pasa". En definitiva, los pitágoricos buscaban comprender el mundo mediante el conocimiento y su creencia más destacada era que todas las cosas son, en esencia, números.

Demostraciones del Teorema de Pitágoras 

El teorema de Pitágoras expone que en un triángulo rectángulo: a²+b²=c², siendo "a" y "b" los catetos y "c" la hipotenusa. Es importante destacar que sólo hablamos de triángulos rectángulos, donde los lados más cortos (catetos) forman un ángulo de 90 grados, el teorema no se aplica a otros triángulos.

A continuación describiremos diferentes demostraciones del teorema y con la primera demostración enunciaremos dos importantes teoremas:

1. Teorema del cateto
2. Teorema de la altura

Estos teoremas nos servirán junto al de Pitágoras para resolver la mayoría de problemas en los que intervienen triángulos, rectángulos.


Demostración atribuida a Pitágoras

La demostración atribuida a Pitágoras se cree que fue por semejanza de triángulos, aplicando el teorema de Tales, de la siguiente manera.

Sea el triángulo ABC, con un ángulo recto en C, y los segmentos n y m son las proyecciones sobre la hipotenusa (c) de los catetos a y b. Siendo i la altura del triángulo y K el punto de corte de la altura con la hipotenusa. Buscamos los triángulos semejantes: los que tengan las bases en común y los ángulos iguales.

De la semejanza de los triángulos ABC y AKC obtenemos que:  b/n = c/b, luego b² = n·c
De la semejanza de los triángulos ABC y BKC obtenemos que:  a/m = c/a, luego a² = m·c
Sustituyendo en a²+b²=c² obtenemos que: (m·c) + (n·c) =  c·(m+n) = c²

Consecuencia inmediata de esta demostración es el teorema del cateto.

I. Teorema del cateto

Si en un triángulo rectángulo ABC, donde hemos dibujado los cuadrados sobre sus lados, prolongamos una línea perpendicular a la hipotenusa (c) desde el vértice que une los catetos (a y b) comprobaremos que las áreas definidas a cada lado del punto de corte con la hipotenusa (k) son iguales a las de los catetos al cuadrado. Esto es, según la imagen siguiente, las áreas de color azul (cuadrado azul = rectángulo azul) y las áreas verdes (cuadrado verde = rectángulo verde) son iguales.

Podemos expresar que los catetos a y b al cuadrado son:

b² = AK·AB    a² = BK·AB

Por lo tanto la proyección de un cateto sobre la hipotenusa por la distancia de la hipotenusa es igual al cateto al cuadrado, a ó b, según el elegido. Expresado matemáticamente tenemos que:

b² = n·c  

a² = m·c

Ejemplo I. Aplicación del teorema del cateto.
Un triángulo rectángulo tiene de lados 3, 4 y 5 , ¿cuál es la altura del triángulo?

a. Aplicando el teorema del cateto calculamos la distancia AK=n, tenemos que 5·n= 3²
Por lo tanto la distancia AK es 9/5

b. Aplicando Pitágoras en el triángulo AKC y si llamamos a la altura CK=i, tenemos que (9/5)² + i² = 3² y despejando "i" ya tenemos la altura. i² = 9-(81/25) = (9·25-81)/25 = 144/25 = (12/5)² 

La altura buscada es i = 12/5 = 2,40

II. Teorema de la altura

Este teorema nos indica que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura (la perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa) es igual al producto de las dos partes en que divide la altura a la hipotenusa. Efectivamente en la imagen se puede ver que la altura al cuadrado CK·CK  es igual a AK·KB. Si llamamos CK=i tenemos que:

i² =AK·KB

En la imagen las áreas del cuadrado CMLK=i² y del rectángulo KBPN=AK·KB son iguales.

Ejemplo II. Aplicación del teorema de la altura.
Si un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 y su altura CK es 12/5=2,40, ¿cuánto mide la hipotenusa?

a. Nos fijamos en el triángulo que forman AKC, y vemos que es un triángulo rectángulo con un lado AC=3 y una altura CK=i que mide 12/5=2,40. Aplicando Pitágoras obtenemos la longitud AK, así:

AK² + (12/5)² = 3² ;  AK²= 9-(144/25)  operando tenemos AK²=(9·25-144)/25=81/25=(9/5)²
Por lo tanto la medida AK=9/5=1,80

b. Para hallar la distancia de la hipotenusa AB, que es la suma de AK+KB, debemos averiguar KB. Esto lo hacemos aplicando el teorema de la altura.

i²=AK·KB ; (12/5)² = (9/5) · KB despejando nos queda que KB= (144·5/25·9) = 16/5 = 3,20

c. Ahora sumamos (9/5)+(16/5)=25/5=5 o lo que es igual 3,20+1,80=5. Obtenemos 5, que es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 3 y 4.

Demostración China: libro matemático del Zhou Bi


El libro Zhou Bi demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado suma de los dos catetos, que se parte en cuatro triángulos  y un cuadrado de lado la hipotenusa del triángulo.

En la siguiente imagen tenéis una demostración de la prueba dada en China hecha con Geogebra. Si se desplaza el tirador inferior vemos como se transforma la figura.

Demostración de Leonardo da Vinci

Incluiré por último una demostración de Leonardo da Vinci del teorema Pitágoras. Lo tomo de wikipedia, aquí, donde lo explican de la siguiente manera:

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

1. Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
2. Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA. 

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

De No machine-readable author provided. Sigmanexus6~commonswiki assumed (based on copyright claims). - No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims)., CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1057636

• De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
• Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
  • A de ADGB y A de CIJA
  • B de ADGB y J de CIJA
  Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

 De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.
Además, (...) nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB. Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. 
Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Con esta última demostración hemos terminado esta entrada del blog. A continuación os dejo unas referencias, con los enlaces correspondientes, donde podéis conseguir más información de este teorema.

Referencias

Pitágoras, primer matemático

Artículo Mis queridos filósofos de Luis Landero

Biografía de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras en Euclides 
Euclid´s elements, proposition 47
Wikipedia

Los cinco postulados y el algoritmo de Euclides

Cuando se habla de aportaciones a la geometría y por extensión a las matemáticas uno de los personajes destacados es Euclides de Alejandría: considerado el padre de la geometría. 

La vida de Euclides  (aprox. 325 a.C, Grecia - 265 a.C) es poco conocida sin embargo su obra,  concretamente los Elementos, es posiblemente la más importante de la geometría.  Aún hoy se debate si fue Euclides el que escribió los Elementos en su totalidad o si tuvo numerosas aportaciones de sus discípulos. Y es que los Elementos  es un compendio de 13 volúmenes que exponen los conocimientos acumulados hasta ese momento (300 a.C). 

Cabe destacar que los Elementos se conoció en Europa Occidental cuando fue traducida al latín de una copia árabe (por un monje llamado Adelardo de Bath) en torno al año 1120. La primera copia impresa se hizo en Venecia en 1482 y desde entonces es el segundo libro más reproducido, total o parcialmente, por detrás de la Biblia y por delante de otros como Harry Potter, el libro Rojo de Mao o el Quijote.

Los Elementos se basan en cinco axiomas (proposiciones ciertas, evidentes, sin demostración) también llamados nociones y en cinco postulados (que son proposiciones no evidentes, ni demostradas pero aceptadas). A partir de los postulados se deducen 465 proposiciones ciertas que son la base de la geometría y las matemáticas (teoría de números) modernas.

Vamos a enunciar los axiomas:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.

Y los 5 postulados de Euclides:

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera.
2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una línea recta corta a otras dos de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

El quinto postulado es el llamado de las paralelas. Se suele enunciar así: "Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela".

Imagen tomada de wikipedia aquí

Siglos después se comprobó que el último postulado sólo es cierto siempre que supongamos un espacio Euclideo. En general el quinto postulado no es cierto porque existen otro tipo de geometrías, llamadas no Euclideas.

El algoritmo de Euclides 

  

Pasemos a continuación a explicar en qué consiste el algoritmo de Euclides.

Imaginemos que tenemos una fiesta y queremos hacer unos bocadillos. Tenemos una barra de pan de dimensión AB y otra barra de pan algo menor de la mitad de la primera y de dimensiones CD. ¿Cuál es la mayor medida común por la que debemos cortar nuestras dos barras de pan para que los bocadillos sean iguales? 

La respuesta es igual a conocer el Máximo Común Divisor de AB y CD, se expresa así:

mcd (AB, CD)

Imagen cedida por JLPG

Si nos fijamos en la imagen lo que hacemos es dividir el pan mayor, entre el de menor tamaño y nos queda un pedazo restante: llamado resto (EF). Si a continuación dividimos el pan menor (CD) entre el resto (EF) observamos que lo divide en partes iguales y que ya no hay ningún resto.

Cuando no tenemos un resto significa que la medida anterior (EF) es un máximo común divisor de ambas barras de pan. Por lo tanto para aprovechar mejor el pan y hacer bocadillos iguales deberán ser de tamaño EF.

Vamos a ver un ejemplo con números. Queremos hallar el máximo común divisor de 3468 y 468, mcd (3468, 468). Si observamos la siguiente imagen comenzamos por dividir 3468 entre 468 y obtenemos un resto de 192. Como nuestro primer resto no es cero, tenemos que seguir dividiendo. Ahora dividiremos nuestro divisor anterior entre el resto que nos había quedado. Así sucesivamente hasta llegar a un resto cero.

Al dividir 24 entre 12 nos da un resto cero. Por lo tanto el mcd (3468, 468) = 12.

Además si factorizamos 3468=2·2·3·17·17 y 468=2·2·3·3·13 observamos que los factores comunes con menor exponente son 2^2·3=12.

Efectivamente podemos ver para comprobarlo que la fracción irreducible de 3468/468 = 289/39, donde 289 y 39 son el resultado de dividir entre 12 el numerador y el denominador.

Expresado de manera matemática el algoritmo de Euclides consiste en dados dos números naturales  a y b , con a>b para calcular el mcd(a,b) hacemos la división entera de a entre b. El resultado se puede expresar como a=c·b+r , donde c es el cociente y r el resto. Tenemos dos posibilidades:

1.) Si r = 0, entonces el mcd(a,b) = b y se ha terminado de calcular.
2.) Si el resto no es cero entonces el mcd(a,b) = mcd(b,r1) y repetimos el proceso anterior dividiendo b entre r1.

Si el resto no es cero, repetimos sucesivamente el proceso hasta que tengamos un resto cero.

Importante: Por último un apunte para la resolución de problemas en los que nos piden calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números. Si tenemos dos números "a" y "b" entonces se cumple que:

m.c.d.(a,b) · m.c.m.(a,b) = a·b

 

En nuestro ejemplo habíamos dicho anteriormente que 3468=2·2·3·17·17 y 468=2·2·3·3·13 luego el m.c.d.(3468,468)=2·2·3=12 (en el Máximo Común Divisor se toman los factores comunes con menor exponente) y el m.c.m.(3468,468)=2·2·3·3·17·17·13=135252 (en el Mínimo Común Múltiplo se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente). Operando podemos ver que se cumple que al multiplicar el máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de dos números el resultado es igual a su producto 3468·468=m.c.d.(3468,468)·m.c.m.(3468,468)= 2^4·3^3·13·17^2=1623024.

Referencias

• Euclides aquí 
• Sobre los Elementos aquí
  
• Biografía resumida de Euclides
  
• Euclides en wikipedia en español aquí
• Euclid en wikipedia, versión en inglés here
• Más sobre los Elementos aquí
• Más documentos, por Juan Navarro en PDF aquí
• Algo más científico: Aritmetizando la geometría desde dentro: el cálculo de segmentos de David Hilbert

La multiplicación de Juanelo

Hace algún tiempo observé que se difundía rápidamente por Internet un vídeo que atribuía a culturas precolombinas un sorprendente método de multiplicación. Es cierto que estas culturas tenían unos sistemas muy avanzados de cálculo, sin embargo el método de multiplicar que explicaban estos vídeos no era otra cosa que un ingenioso invento de un sabio italo-español llamado Giovani Torriani. Otro personaje que deberíamos conocer pero que no suele aparecer en nuestros libros de texto.

Giovani Torriani (Cremona, Milanesado, 1501 — Toledo, España, 1585) se instaló en España en 1529 y, rápidamente se le llamó Juanelo Turriani (más castellano). Juanelo fue llamado por el Rey-emperador Carlos I para ser nombrado Relojero de la Corte y construir un reloj astronómico que le hizo muy popular. 

Juanelo era  ingeniero y además del citado invento astronómico fue el encargado de construir otras maravillas en su época. Por ejemplo el estanque del monasterio de Yuste (Cáceres). También diseñó el sistema que subía el agua desde el rio Tajo hasta la parte alta de la ciudad de Toledo. Un sistema que se siguió utilizando siglos después, hasta que fue sustituido por máquinas modernas.

A lo que me referiré ahora es al ingenioso sistema de multiplicar de Juanelo. Un sistema que pudo ser inventado para que los trabajadores de sus obras,  analfabetos en muchos casos, pudieran manejarse con los cálculos. Vamos a explicarlo mediante un ejemplo. 

Imaginaros que no sabéis multiplicar y tampoco conocéis las tablas que os enseñaron en el colegio. ¿Cómo multiplicaríais dos números?

Lo primero que haremos es definir los números a multiplicar, gráficamente. En nuestro ejemplo vamos a comenzar por multiplicar 23 por 12. Para ello comenzaremos por separar mentalmente el número 23 en dos y tres. Ahora dibujaremos tres líneas paralelas juntas. Luego, más separadas, otras dos líneas. Ya tenemos representado el número 23.

Repetimos el proceso y dibujaremos de la misma manera el 12. Pero de forma perpendicular a las líneas anteriores. Debería quedar algo parecido a la siguiente imagen.

El siguiente paso es rodear las intersecciones de líneas que quedan en los extremos y seguidamente las que quedan en vertical. Y cuando tenemos las intersecciones separadas, contamos los cruces de líneas. Empezamos a contar por la derecha y vemos que dos líneas se cruzan con tres líneas por lo tanto tenemos 6 cruces.

Continuamos con el grupo de cruces de la parte central y tenemos 4 arriba y 3 abajo que hacen un total de 7.

Por último contamos las intersecciones del extremo izquierdo y vemos que tenemos 2.

Para concluir apuntamos los cruces que tenemos: 276. Pues ese es el resultado de multiplicar 23·12. Podéis comprobarlo. ¡Sorprendente verdad!

Veamos ahora otro ejemplo, con dos números más grandes para perfeccionar la técnica. Por ejemplo vamos a multiplicar 123 por 31. Comenzamos primero por las líneas que nos determinan las unidades de 123, esto es 3 líneas. Luego realizamos las líneas de las decenas, 2 líneas. Por último las líneas de las centenas, 1 línea.

A continuación de forma perpendicular seguimos el mismo procedimiento con 31. Nos debería quedar algo parecido a la siguiente imagen.

Para el obtener el resultado comenzamos a contar las intersecciones desde las unidades, el extremo. 

1. Cruce de líneas del extremo derecho = 3 (unidades)
2. Cruce de las siguientes líneas en la misma vertical 2+9=11, son dos cifras así que ahora nos llevamos la primera cifra para sumarla después.
3. Continuamos con la intersección de las siguientes líneas en la misma vertical 1+6=7 y añadimos la cifra que nos hemos llevado, en total tenemos 8.
4. Por último el extremo situado a la izquierda, hay 3 cruces de líneas.

Ahora juntamos las cifras obtenidas, por orden inverso para obtener el resultado, esto es: 3 8 1 y 3. Tenemos que 3813=123·31

Un curioso e ingenioso sistema de multiplicar, ¿verdad?

Os dejo algunas referencias para conocer más inventos de este personaje.

Referencias

• Aquí teneís un enlace a la Fundación Juanelo Torriani
• La página en wikipedia-Juanelo-Turriani 
• Descripción del artificio de Toledo para subir el agua: Contribuciones a la historia de la ingeniería mecánica por Theodor Beck
• Colección de imágenes e invenciones de Juanelo Torriani

El método de Fermat y el número 100 895 598 169

Pierre de Fermat (1601-1665) tenía por costumbre no publicar sus descubrimientos matemáticos. Su profesión era el derecho y trabajaba como magistrado y consejero del Parlamento de Toulouse, Francia.

Fermat se consideraba un mero aficionado a las matemáticas, algo que estudiaba y con lo que disfrutaba en su tiempo libre. Por eso durante su vida publicó un único ensayo de sus descubrimientos. Sin embargo Fermat se ganó el reconocimiento de la comunidad de científicos y matemáticos a través de las cartas que escribía. En algunas de estas cartas Fermat retaba a los mejores matemáticos de la época a demostrar problemas que él decía haber resuelto.

Posteriormente uno de sus hijos recopiló los trabajos y anotaciones que encontró de su padre y los publicó en un libro. Gracias a este libro hoy podemos conocer buena parte de los trabajos de Fermat.

Entre los documentos dados a conocer se encontraban diversas cartas y anotaciones que Fermat escribía en los márgenes de los libros que estudiaba. Una de las anotaciones más famosas fue la realizada en el libro de Aritmética de Diofanto, un libro traducido al latín por Bachet en 1621, y donde aparece el llamado último teorema de Fermat. En esa anotación Fermat comentó tener una solución maravillosa para demostrar este teorema. Desde entonces muchos buscaron la demostración hasta que en 1995 el teorema fue probado con unos métodos desconocidos en aquella época.

Dejando aparte el último teorema, en esta ocasión quisiera refererirme a una de las cartas publicadas en la que Marin Mersenne, un sacerdote, matemático y filósofo francés, solicitaba a Fermat si podía decirle los factores de un número, este:

100 895 598 169

A pesar de tratarse de un número de doce cifras la respuesta no se hizo esperar y en un breve periodo de tiempo Fermat respondió a Mersenne que dicho número era el producto de 112303 por 898423. Además sugería que ambos factores deberían ser números primos (que lo son).

Es difícil imaginar, en un mundo sin calculadoras, cómo pudo Fermat conseguir semejante respuesta. Desde entonces se ha intentado descubrir cómo lo hizo. Unos han sugerido que se perdió una técnica de factorización y otros que Fermat encontró una vía rápida para descomponer ese número. Lo que sí se conoce es un método, propuesto por el propio Fermat, para descomponer números. Es un método que hoy se sigue utilizando aunque ese método "parece" que no es práctico cuando se aplica al mencionado número de doce cifras. Vamos a explicar su método.

El método de factorización de Fermat consiste en aplicar la ecuación: (c + d)·(c - d) = c² - d²

Esto quiere decir que una diferencia de cuadrados se puede expresar como producto de dos factores. Así en la siguiente imagen podemos ver como la figura de aspecto cuadrado de 4²-1² partes iguales se transforma en un rectángulo de 3·5 partes iguales.

Aplicando la idea propuesta por Fermat hemos hallado un producto de dos números 3·5, que es 15, partiendo de una diferencia de dos cuadrados que también es 15. En general podemos aplicar esta idea para los números compuestos, directamente para todos los impares.

En la siguiente tabla observamos que restando los cuadrados de las filas menos los de las columnas nos van quedando los números compuestos, excepto los de la primera diagonal que es donde encontraremos ordenados todos los impares y los números primos.

Si por ejemplo queremos hallar los factores de 91 podemos ver que este número está en la fila de 100 y la columna de 9. Efectivamente 100-9=91. Por lo tanto (10+3) y (10-3) son sus factores y 13·7=91. Además con la tabla anterior es fácil ver que 91 está en la diagonal de 13 y que todos los números en cada diagonal son múltiplos del primer número.

Para calcular los factores de 91 matemáticamente aplicamos la ecuación (c + d)·(c - d) = c² - d²
Entonces efectuaremos los siguientes pasos:

1. Calculamos la raíz de 91. Tomamos c=10 porque 91 está entre 9·9=81 y 10·10=100. 
2. Después despejamos "d" de la ecuación 91 = 10² - d².  Así calcularemos que d=3.
3. Para concluir introduciremos los datos en la ecuación y tendremos (10-3)·(10+3) = 91

Como se puede observar con números pequeños o cuando determinemos uno de los cuadrados el cálculo resulta sencillo.

En el caso de que el primer valor que tomamos como "c" no tuviese solución en la ecuación como otro cuadrado: probaríamos con el siguiente cuadrado, en este caso de 100 pasararíamos a 121 y así sucesivamente hasta encontrar un resultado en el que la diferencia de dos cuadrados fuese el número buscado. Pero, ¿qué puede ocurrir con números grandes como el de Mersenne?

Con números demasiado grandes lo habitual es que el proceso no resulte práctico y se tarde mucho en encontrar dos cuadrados que restados den el número que buscamos. En el caso del número 100895598169 la ecuación a plantear sería la siguiente:

(505363-393060)•(505363+393060)=505363²-393060²

Para conocer la incógnita "c" tendríamos que probar números desde el 317641, el número más cercano a la raíz cuadrada del número dado, hasta encontrar 505363 y comprobar que la diferencia con otro cuadrado es el número buscado. Algo irrealizable a mano, con lápiz y papel.

Entonces, ¿cómo lo hizo Fermat?

Esta pregunta sigue siendo un misterio porque Fermat no publicaba los procedimientos que utilizaba. También es posible que Mersenne ya conociera de antemano la solución a su pregunta y simplemente quisiera forzar a Fermat a revelar más información sobre sus métodos.

La operación de multiplicar dos números es sencilla, sin embargo descomponer un número grande en factores puede resultar muy difícil. Así el número propuesto por Mersenne era difícil de factorizar con el método de Fermat.

Por otra parte, en 1654 Fermat escribió a Pascal: "Lo que vos encontrareis más interesante es lo concerniente a la proposición de que cualquier número está compuesto de uno, de dos o de tres triángulos; de uno, de dos, de tres o de cuatro cuadrados; de uno, de dos, de tres, de cuatro o de cinco pentágonos y así hasta el infinito".

Para hallar la solución podemos especular que el número dado en vez de con una diferencia de cuadrados se tratara con una diferencia o suma de triángulos. Si ponemos el ejemplo del número 15 gráficamente la solución resultaría como en la siguiente imagen.

Y si planteamos el problema de esta manera, parece que ahora sí podemos abordar la descomposición del número de una manera sencilla.

En base a lo anterior, a continuación se describen las operaciones que podría haber efectuado Fermat para factorizar el número de Mersenne (Mn=100895598169).

1. Comenzamos hallando los lados del triángulo con el valor más cercano posible a Mn, según esta expresión: (L² + L) / 2 = Mn

2. Para despejar el valor de "L" resolvemos la ecuación de segundo grado L² + L - 2Mn = 0

Obteniendo un valor para L = 449211,2500002

3. Con la parte entera E = 449211  hallamos la superficie "S" de un nuevo triángulo.

(E² + E) / 2 = 100895485866  valor de S.

4. A continuación restamos el valor obtenido de la superficie del triángulo de lado E al número Mn para hallar "R", el resto. Esto es  Mn - S = 112303 valor del resto R.

5. Por último dividimos el número Mn entre R, que resulta ser un número exacto con lo que probamos que el resto calculado es directamente un factor. 100895598169 / 112303 = 898423

Por tanto la solución es 898423 • 112303 = 100895598169

Si nos fijamos en la imagen anterior lo que hemos hecho con este procedimiento es intentar definir el número mediante triángulos. Entonces ha dado la "casualidad" que al formar el primer triángulo el resto que nos quedaba era el lado menor del rectángulo que buscábamos.