El tercer problema de Apolonio consiste en determinar las circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a una circunferencia dada.
Una vez entendido lo anterior el problema de Apolonio PPc se reduce a encontrar aquellas circunferencias que, con centro en la mediatriz de los puntos dados A y B, cumplan también la condición de tangencia con la circunferencia dada. O lo que es lo mismo, este procedimiento equivale a encontrar las dos circunferencias del "haz elíptico" de circunferencias de A y B que cumplen la condición de tangencia con la circunferencia.
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| Haz elíptico (de A y B) |
Primero, para hallar las circunferencias de la solución, nos servimos de una circunferencia AUXILIAR. Esta circunferencia de apoyo será cualquiera perteneciente al haz de circunferencias y tendrá la condición de que CORTE a la circunferencia dada.
Se utiliza una circunferencia auxiliar que corte a la dada para poder obtener el eje radical de dos circunferencias. El eje radical pasará por los puntos de intersección E y F. A continuación hallamos el otro eje radical, el de los puntos A y B. Con los dos ejes radicales ya podremos obtener el centro radical CR.
Hallamos el centro radical porque en él se va a cumplir una condición importante: la potencia desde el centro radical (CR) hasta los puntos de tangencia de la circunferencia dada es igual a la potencia desde CR a los puntos de tangencia de en circunferencias de la solución.
Este procedimiento nos permite hallar los CENTROS de las circunferencias solución a través de los puntos de tangencia. Por lo tanto con hallar los puntos de tangencia en la circunferencia dada, trazando el arco capaz de 90º sobre O-CR o también trazando el arco capaz sobre el centro radical y el centro de la circunferencia auxiliar, los puntos de tangencia tendrán igual potencia desde CR.
Cuando conocemos los puntos de tangencia (T1 y T2) bastará unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia dada y en la intersección con la mediatriz de A y B estarán los centros de las circunferencias solución O1 y O2.
Hallamos el centro radical porque en él se va a cumplir una condición importante: la potencia desde el centro radical (CR) hasta los puntos de tangencia de la circunferencia dada es igual a la potencia desde CR a los puntos de tangencia de en circunferencias de la solución.
Este procedimiento nos permite hallar los CENTROS de las circunferencias solución a través de los puntos de tangencia. Por lo tanto con hallar los puntos de tangencia en la circunferencia dada, trazando el arco capaz de 90º sobre O-CR o también trazando el arco capaz sobre el centro radical y el centro de la circunferencia auxiliar, los puntos de tangencia tendrán igual potencia desde CR.
Cuando conocemos los puntos de tangencia (T1 y T2) bastará unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia dada y en la intersección con la mediatriz de A y B estarán los centros de las circunferencias solución O1 y O2.
En la siguiente imagen realizada con GeoGebra puedes ver por pasos la solución de este problema.
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En el índice del blog, en Dibujo Técnico, podrás consultar los demás casos (también pulsando aquí).
En las pruebas de acceso a la universidad también se han planteado ejercicios de este caso de los problemas de Apolonio, aquí puedes ver un ejemplo: Ejercicio de 2008 PAU
En las pruebas de acceso a la universidad también se han planteado ejercicios de este caso de los problemas de Apolonio, aquí puedes ver un ejemplo: Ejercicio de 2008 PAU
