Apolonio Pcc

Continuando con los problemas de Apolonio vamos a resolver el caso de las circunferencias tangentes a dos circunferencias y un punto, caso Pcc. 

Puedes consultar los demás casos en este blog, en el índice del apartado de Dibujo Técnico (pulsando aquí).

Para hallar las circunferencias tangentes del caso Pcc debemos aplicar los conceptos de inversión en el plano. Conceptos que ya hemos explicado en el blog (aquí).

Este caso tiene CUATRO soluciones en su forma general. Hallaremos dos soluciones mediante una inversión positiva y otras dos mediante una inversión negativa.

INVERSIÓN POSITIVA

A1. Definimos la inversión.

Consideraremos las dos circunferencias inversas entre sí y a continuación hallamos el centro de la inversión mediante sus tangentes. Podemos hallar dos centros de inversión, uno lo definen las rectas tangentes interiores y otro las exteriores. Pero para no complicar el dibujo, ahora lo haremos con las tangentes exteriores.

Recordemos también que en una inversión una circunferencia que no pasa por el centro de inversión se transforma en otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de la inversión.

Comenzamos hallando las rectas tangentes a las dos circunferencias para encontrar el centro de la inversión. Para trazar dichas tangentes podemos emplear el método de restar radios (exteriores) o por homología.

En la siguiente imagen se han trazado las tangentes exteriores y el punto de corte: centro de la inversión.

A2. Hallamos el inverso del punto.

 

Además de obtener el centro de la inversión vemos que los extremos de los diámetros más cercanos son puntos inversos entre sí. Y como una propiedad de la inversión es que dos puntos y sus inversos son concíclicos, están la misma circunferencia, podemos definir la circunferencia formada por los puntos A, su inverso Ai y el punto P. 

Con la circunferencia concíclica y el centro de la inversión podemos determinar el punto inverso de P, el punto Pi. Lo haremos trazando una recta desde el centro de inversión Ci hasta el punto P, hallando así el punto de corte con la circunferencia concíclica: el punto Pi.

A3. Haz de circunferencias que pasan por P y su inverso.

Las soluciones de este problema se van a encontrar dentro del haz de circunferencias que definen los puntos P y Pi. Por lo tanto los centros de las circunferencias que buscamos estarán en la mediatriz de estos puntos.  Ahora nos falta determinar los puntos de tangencia en las circunferencias.

A4. Ejes y centros radicales.

A continuación observaremos los ejes radicales que tenemos en nuestro dibujo. (Si quieres saber más sobre ejes radicales lo hemos explicado en el blog aquí). Por un lado tenemos el eje radical que definen los puntos P y Pi y por otro tenemos los ejes que definen la circunferencia concíclica en su intersección con las circunferencias dadas.  

En este punto podemos utilizar la circunferencia concíclica como auxiliar, porque es una de las circunferencias del haz de soluciones, tiene su centro en la mediatriz y pasa por P y su inverso. Recordemos que todas las circunferencias que pertenecen al mismo haz elíptico cumplen las mismas condiciones de tangencia desde el centro radical.

Continuamos prolongando los ejes radicales hasta que se corten en los puntos M y N.

Si nos fijamos hemos convertido nuestro problema en el caso PPC, tenemos dos puntos y cada una de las circunferencias. Vamos a continuar como lo haríamos en el caso PPC

A5. Puntos de tangencia y centro de las circunferencias.

Ya sólo nos falta hallar los puntos de tangencia. Para este paso podemos hacerlo de dos formas. Una es trazando los arcos capaces de 90º respecto a los puntos M-O1 y N-O2, otra empleando la circunferencia auxiliar y dibujando los arcos capaces entre M-C_aux y N-C_aux y hallando los puntos de tangencia (Tc1 y Tc2) que trasladeremos a las circunferencias 1 y 2. Ambos procedimientos deben coincidir en los mismos puntos de tangencia.

Si ahora unimos los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en su prolongación hallaremos los centros de DOS de las CUATRO circunferencias solución. Estos centros se deben encontrar en la mediatriz de P y su inverso Pi. Ya sólo hay que trazar las circunferencias solución desde los centros hallados en la mediatriz hasta los puntos de tangencia.

A continuación realizaremos la inversión negativa para hallar las otras dos circunferencias tangentes.

INVERSIÓN NEGATIVA

B1. Definimos la inversión.

El primer paso es considerar las dos circunferencias inversas entre sí y hallaremos el centro de inversión que definen las rectas tangentes interiores.

Nota: No es necesario dibujar las tangentes interiores, por homología podemos determinar el centro de la inversión. Bastará con trazar dos segmentos paralelos por los centros de las circunferencias y en el punto de corte de los segmentos que unen los lados de cada extremo opuesto estará el centro de la inversión (ver figura).

B2. Hallamos el inverso del punto.

 

Dos puntos y sus inversos son concíclicos y podemos definir la circunferencia formada por los puntos A, su inverso Ai y el punto P. En esta ocasión los puntos inversos se situan en un extremo del diámetro de cada circunferencia.

Con la circunferencia concíclica y el centro de la inversión podemos determinar el punto inverso de P, el punto Pi. Lo haremos uniendo el centro de inversión (Cinv) con el punto P hasta que corte a nuestra circunferencia auxiliar. 

 B3. Haz de circunferencias que pasan por P y su inverso.

Como antes, las soluciones de este problema se van a encontrar dentro del haz de circunferencias que definen los puntos P y Pi. Por lo tanto los centros de las circunferencias que buscamos estarán en la mediatriz de estos puntos.  Ahora nos falta determinar el centro radical y los puntos de tangencia en las circunferencias.

B4. Ejes y centros radicales.

Utilizamos la circunferencia concíclica como auxiliar pues todas las circunferencias del haz de las circunferencias solución pasan por P y Pi y tienen su centro en la mediatriz de P y Pi, como nuestra auxiliar y concíclica. Prolongamos prolongamos los ejes radicales que define nuestra auxiliar con las circunferencias del problema hasta que se corten en el centro radical CR.

B5. Puntos de tangencia y centro de las circunferencias.

Hemos vuelto a reducir el problema al caso PPC, tenemos el punto P, su inverso Pi y la circunferencia C1 (elegimos esta circunferencia porque su centro radical queda dentro de nuestros límites de dibujo).

Nos falta hallar los puntos de tangencia. Para este paso haremos el arco capaz 90º entre CR y el centro de la auxiliar C_aux. Luego trasladaremos el punto de tangencia a la circunferencia de centro O1. Como explicamos antes también podríamos hacer un arco entre el centro radical y el centro O1 de la circunfencia. Nos daría un punto de tangencia directamente en dicha circunferencia (ver imagen).

Por último al unir los puntos de tangencia con los centros de las circunferencias, en su prolongación, hallaremos los centros de otras DOS de las CUATRO circunferencias solución.

Soluciones A y B realizadas con Geogebra

A continuación todo el proceso explicado antes hecho con la aplicación Geogebra. Utiliza el zoom y la barra de navegación para ver los pasos desde el principio.

CASO A

CASO B