APOLONIO Prc

Vamos a continuar con la resolución de los problemas de Apolonio. Los demás casos los puedes consultar en el índice de Dibujo Técnico del Blog. En esta ocasión resolveremos el problema de Apolonio para trazar las circunferencias tangentes a un punto, una recta y una circunferencia. Este caso (Prc) debe tratarse mediante inversión en el plano para simplificar su resolución.

En una inversión se mantienen las propiedades de tangencia. Por este motivo se emplea esta transformación para hallar las circunferencias tangentes a los tres elementos citados.

Para hallar las CUATRO soluciones dividiremos el procedimiento en dos partes (A y B) cada una con un centro de inversión diferente y una inversión positiva y otra negativa. Los pasos para encontrar las soluciones son los siguientes.

INVERSIÓN POSITIVA

A1. Determinar la inversión.

En primer lugar tomaremos como elementos inversos la circunferencia y la recta dada. Tenemos así una inversión en el plano donde la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de la inversión. Por lo tanto si trazamos la perpendicular a la recta por el centro de la circunferencia hallaremos, en el extremo del diámetro, el centro de la inversión.

A2. Hallar el centro radical.

Una vez definida la inversión podemos determinar el centro radical (CR). El centro radical se encontrará sobre la recta dada y en la intersección con la recta que une el centro de la inversión y el punto P.

A3. Hallar la circunferencia concíclica y el inverso del punto.

En toda inversión dos puntos y sus inversos son concíclicos, definen una circunferencia. Esta propiedad permite hallar fácilmente el inverso del punto P. 

Para ello conocemos tres puntos de dicha circunferencia, el punto dado P, el punto A y su inverso A1. El punto A es el otro extremo del diámetro del centro de inversión. A su vez el punto inverso A1 estará en la intersección que determinan la prolongación del diámetro y la recta dada.

Trazando la circunferencia que pasa por los tres puntos mencionados podemos hallar el inverso de P, el punto P1. Éste estará en la recta que une el centro de inversión con P y pertenecerá a la circunferencia concíclica.

Por otra parte sabemos que en la mediatriz de P y su inverso P1 se encontrarán los centros de las circunferencias tangentes solución. Dichas circunferencias pasarán por los puntos mencionados P y P1 pues pertenecen al mismo haz (elíptico) de circunferencias.

Para solucionar el problema hay que encontrar las dos circunferencias de dicho haz que cumplan con la condición de tangencia a los tres elementos dados.

A4. Centros de las circunferencias solución.

Para determinar los centros de las circunferencias buscadas utilizaremos el centro radical, que es el lugar geométrico con igual potencia respecto a los puntos de tangencia.

Primero hallaremos el punto de tangencia a la circunferencia concíclica, que nos sirve de auxiliar porque es una circunferencia que tiene su centro en la mediatriz de P y P1 y pertenece al mismo haz de circunferencias que las buscadas. El punto de tangencia (T) en esta circunferencia tendrá por lo tanto la misma potencia respecto a los puntos de tangencia de las circunferencias solución.

Para hallar el punto tangente se traza el arco capaz de 90° entre el centro radical y el centro de la circunferencia que empleamos como auxiliar. Una vez determinado el punto de tangencia (T) lo trasladamos sobre la recta. Con radio CR a T determinamos los puntos T1 y T2 que son los puntos de tangencia en la recta dada.

Por último si trazamos las perpendiculares a la recta por los puntos de tangencia T1 y T2, en la intersección con la mediatriz de P y P1, encontraremos los centros de las circunferencias solución: centros CT1 y CT2.

Las circunferencias buscadas tienen radios desde los centros CT1 y CT2 hasta los respectivos puntos de tangencia T1 y T2 en la recta, son tangentes a la circunferencia dada y pasan por P y su inverso P1.

Si queremos determinar con exactitud los puntos de tangencia en la circunferencia, bastará con unir el centro de la inversión (Cinv) con los puntos T1 y T2 para obtener sus inversos: los puntos de tangencia en la circunferencia.

Una vez halladas las dos primeras circunferencias continuaremos con la segunda fase para determinar las otras dos circunferencias de la solución. En esta ocasión debemos tomar otro centro de inversión, el punto opuesto del diámetro

INVERSIÓN NEGATIVA

B1. Determinar la inversión.

En la perpendicular a la recta que pasa por el centro de la circunferencia hallaremos, en el extremo del diámetro, el centro de la inversión. Utilizaremos como centro de inversión el extremo opuesto al caso anterior (Cinv 2).

B2. Hallar el centro radical.

El centro radical se encontrará sobre la recta dada y en la intersección con la recta que une el centro de la inversión y el punto P. Obtenemos así el punto CR2.

B3. Hallar la circunferencia concíclica y el inverso del punto.

Como se explicó antes en toda inversión dos puntos y sus inversos son concíclicos, definen una circunferencia. Hallamos el inverso del punto P con la circunferencia concíclica que en esta ocasión determinará el punto P2.

En la mediatriz de P y su inverso P2 se encontrarán los centros de las circunferencias tangentes que buscamos.

B4. Centros de las circunferencias solución.

Para determinar los centros de las circunferencias buscadas utilizaremos el centro radical CR2, lugar geométrico con igual potencia respecto a los puntos de tangencia.

Hallaremos el punto de tangencia a la circunferencia concíclica y que nos sirve de auxiliar. El punto de tangencia (M) en esta circunferencia tendrá por lo tanto la misma potencia respecto a los puntos de tangencia de las circunferencias solución.

Para hallar el punto tangente se traza el arco capaz de 90° entre el centro radical y el centro de la circunferencia que empleamos como auxiliar (punto N).

Una vez determinado el punto de tangencia (M) lo trasladamos sobre la recta. Con radio CR2 a M determinamos los puntos T3 y T4 que son los puntos de tangencia en la recta.

Por último si trazamos las perpendiculares a la recta por los puntos de tangencia T3 y T4, en la intersección con la mediatriz de P y P2, encontraremos los centros de las otras dos circunferencias.

La solución completa, con las cuatro circunferencias, se presenta en la siguiente imagen.

Solución en Geogebra.

A continuación se presenta el problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.