HIPÉRBOLA. TANGENTES E INTERSECCIONES.

La HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F y F´, es constante e igual al eje real AB. PF – PF´ = AB

La hipérbola es una curva abierta plana, con dos ramas y es simétrica respecto a los dos ejes. Si denominamos 2a la longitud del eje real (distancia AB) y 2b la longitud del eje imaginario (distancia CD) y 2c la distancia entre focos, entonces se cumplirá que:  c² = a²+b²

Se denomina Circunferencia Principal (Cp) a la circunferencia de centro O y diámetro 2a. La circunferencia principal se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares, trazadas desde los focos a las tangentes de la hipérbola.

La circunferencia principal es el punto medio de los segmentos que unen un foco con la circunferencia focal del otro foco y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la hipérbola.

La Circunferencia Focal (Cf) de la hipérbola tiene centro (F) en uno de los focos y radio 2a. En la hipérbola, al igual que en la elipse, hay dos circunferencias focales.

La circunferencia focal de la hipérbola (con centro en el foco F) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F´) respecto a las tangentes.

En la siguiente imagen se observan las proporciones y las condiciones angulares que se establecen entre los diferentes elementos de una hipérbola: focos, ejes, circunferencias focales, circunferencia principal, asíntotas, tangente desde un punto, radios vectores y proporciones de los semiejes a, b y c. (Identifícalas en el dibujo).

La hipérbola, al igual que la elipse, tiene dos focos y dos circunferencias focales. Podemos definir también la HIPÉRBOLA como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la circunferencia focal y de un foco. 

Como se observa en siguiente imagen la hipérbola es el lugar geométrico que definen los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal. 

A continuación vamos a resolver los problemas que se pueden presentar con este tipo de cónicas. Son los siguientes.

1. TRAZAR LAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA POR UN PUNTO EXTERIOR

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1

Otra manera de resolver este problema sería la siguiente.

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1-bis

2. TRAZAR LAS TANGENTES A LA HIPÉRBOLA DADA UNA DIRECCIÓN

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 2

3. DETERMINAR LAS INTERSECCIONES DE UNA RECTA CON UNA HIPÉRBOLA

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 3

PARÁBOLA. TANGENTES E INTERSECCIONES.

En esta ocasión veremos como se realizan las tangentes e intersecciones con rectas a una parábola. Para comenzar definiremos la parábola y sus elementos.

La PARÁBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.

La DIRECTRIZ (d) es perpendicular al eje de simetría de la parábola y es también la circunferencia focal, de centro impropio y radio infinito y por lo tanto una recta: d=Cf.

El VÉRTICE (V) está a la misma distancia del foco y del punto intersección del eje de simetría con la directriz (O). Luego V equidista de O y de F y OV=VF.

Los RADIOS VECTORES van de un punto P de la parábola al foco (F) y de P al simétrico del foco (N) respecto a la tangente por P.

El punto N es también la intersección de la directriz con la perpendicular desde P a la misma directriz. Por lo tanto ambos vectores miden igual: NP=FP.

La TANGENTE en un punto (P) es la recta bisectriz del ángulo que forman los radios vectores y coincide con la mediatriz del segmento que une el foco (F) con su simétrico (N).

tangente = bisectriz de NPF
tangente = mediatriz de NF   

En base a lo anterior, la PARÁBOLA la podemos definir también como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la directriz que pasan por el foco.

La CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL de la parábola es de radio infinito y centro impropio, es la recta perpendicular al eje de simetría que pasa por el vértice V. Por lo tanto contiene los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes. De esta manera podríamos obtener una parábola: dibujando las tangentes que envuelven a la curva.

Podemos observar en la figura adjunta que un punto de la parábola (P) y la intersección de la tangente por ese punto con el eje de simetría, punto K, equidistan del foco: FP=FK.

Manejando todas las propiedades vistas de la parábola podremos resolver los problemas que se puedan plantear con este tipo de curvas.

1. RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR 

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1

 Otra manera de resolver el problema, mediante la circunferencia principal.

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 1-bis

2. RECTAS TANGENTES A LA PARÁBOLA DADA UNA DIRECCIÓN

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 2

3. INTERSECCIÓN DE RECTA CON PARÁBOLA, DADA POR SU FOCO Y DIRECTRIZ

Para ver el ejercicio por pasos en Geogebra pulsa en el enlace: EJERCICIO 3

ELIPSE. TANGENTES E INTERSECCIONES.

En esta ocasión veremos como se realizan las tangentes e intersecciones con rectas a una elipse. Para comenzar definiremos que es una elipse y una circunferencia focal.

La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

La CIRCUNFERENCIA FOCAL es el lugar geométrico de los puntos simétricos al foco respecto a las tangentes de una curva cónica (elipses, parábolas e hipérbolas).

La circunferencia focal (Cf) de la elipse es la de radio el eje mayor y centro en un foco. La elipse y la hipérbola poseen dos circunferencias focales mientras que en la parábola hay una, de centro impropio y coincidente con la recta directriz. .

La TANGENTE por un punto T de una elipse se halla mediante la bisectriz del ángulo F2-T-N o realizando la mediatriz del segmento que comprende desde el foco F2 hasta N, punto en la circunferencia focal situado en prolongación de T desde el foco opuesto F1.

Una vez definida la cónica y sus elementos principales, existen una serie de problemas o casos tipo que debemos conocer como se resuelven. Son los siguientes.

1. TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

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2. TANGENTES A UNA ELIPSE PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA

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3. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A LA FOCAL POR TRES PUNTOS M, N, P

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4. PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y ELIPSE DEFINIDA POR SUS EJES

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5. EJES DE LA ELIPSE CONOCIENDO DOS TANGENTES, UN PUNTO Y UN FOCO

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Si dibujamos la elipse, sombreada, el problema resuelto quedaría como en la siguiente imagen.
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6. EJES DE LA ELIPSE CONOCIENDO TRES TANGENTES Y UN FOCO

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7. DADOS LOS FOCOS Y LA C.PPAL. HALLAR LAS TANGENTES DESDE UN PUNTO

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8. DADA UNA ELIPSE Y UNA RECTA QUE LA CORTA, DETERMINAR EL CENTRO RADICAL Y LAS TANGENTES A LA CIRCUNFERENCIA FOCAL DE LA CÓNICA

Este ejercicio nos sirve para aplicar los conocimientos de eje radical (lugar geométrico con igual potencia respecto a dos circunferencias) y centro radical (lugar geométrico de las circunferencias ortogonales y punto de igual potencia respecto a tres circunferencias).

El método empleado nos servirá para resolver problemas con condiciones angulares. En este caso para hallar el centro radical CR se trazan o DOS circunferencias auxiliares, con centros en la recta y radios hasta el foco o una que corte o sea tangente a la circunferencia focal-1 pasando por el foco-2.

Se hallan así dos ejes radicales que se cortan en el punto buscado CR y se comprueba que las tangentes a la circunferencia focal por los puntos en prolongación T (puntos de tangencia en la focal) se cortan en el centro radical.

SISTEMA DIÉDRICO: PERPENDICULARIDAD

En el sistema diédrico, a diferencia de lo que ocurre con el paralelismo, la perpendicularidad entre rectas o entre planos no se puede conocer directamente observando sus proyecciones, salvo en el caso de recta con plano.

Los problemas de perpendicularidad se resuelven apoyandose en los siguientes teoremas:

TEOREMA DE LAS TRES RECTAS PERPENDICULARES

Si por el pie de una recta perpendicular (R1) a un plano se traza una segunda recta perpendicular (R2) a una recta contenida en dicho plano, entonces cualquier punto de la primera recta y el pie de la segunda recta determinan una tercera recta perpendicular (R3) a la que estaba sobre el plano.

Este enunciado se puede expresar de forma particular (con dos rectas) de la siguiente forma:

Si dos rectas son perpendiculares en el espacio y una de ellas es paralela a un plano de proyección, entonces las proyecciones ortogonales de dichas rectas sobre el plano de proyeccción son perpendiculares. (Si las rectas se cortan tendrán un punto en común).

Además del teorema de las tres perpendiculares podemos deducir otro importante teorema que nos permite resolver problemas de perpendicularidad, es el siguiente:

TEOREMA DE PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO

Si una recta es perpendicular a un plano lo es también a todas las rectas que forman dicho plano. Recíprocamente una recta será perpendicular a un plano cuando lo sea a dos rectas cualesquiera de dicho plano, que no sean paralelas.

Con estos teoremas y empleando las rectas particulares (horizontal, frontal, máxima inclinación y máxima pendiente) y los diferentes planos proyectantes hemos definido las herramientas necesarias para solucionar los problemas de perpendicularidad en el sistema diédrico.

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO

Para obtener la perpendicularidad de una recta con un plano basta con trazar la perpendicular a un par de rectas cualesquiera, no paralelas, pertenecientes al plano.

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas contenidas en él y por lo tanto a la traza del plano.

Las proyecciones de una recta perpendicular a un plano además de ser perpendiculares a las trazas de un plano lo son respectivamente a la proyección horizontal y vertical de las rectas horizontales y frontales de dicho plano.

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS

Para resolver la perpendicularidad entre rectas debemos trazar un plano perpendicular a la recta que contendrá las rectas perpendiculares a la recta dada. Como hay infinitas rectas en un plano nos deben dar un dato más, que pase por un punto.

PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS

Para resolver la perpendicularidad entre planos debemos conocer una recta contenida en uno de los planos que sea perpendicular al otro.

SISTEMA DIÉDRICO: PARALELISMO

En sistema diédrico podemos encontrar tres casos de elementos paralelos.

1. Rectas paralelas.
2. Planos paralelos.
3. Recta y plano paralelos.

RECTAS PARALELAS

Las rectas que son paralelas en el espacio tienen sus DOS proyecciones sobre los planos de proyección paralelas.
Las proyecciones en sistema diédrico son cilíndricas ortogonales y es por esto que podemos comprobar el paralelismo de dos rectas comprobando sus proyecciones sobre los planos PH y PV.

Como excepción a esta regla tenemos las rectas de perfil que para comprobar si son paralelas necesitamos recurrir a una tercera proyección.

Problemas tipo de rectas paralelas

E.1) Por un punto (P) y una recta (s) dados trazar una recta paralela (r).
E.2) Comprobar si dos rectas de perfil dadas (r ys) son paralelas.

PLANOS PARALELOS

Si al cortar dos planos paralelos por un tercer plano las rectas de intersección son paralelas entre sí, entonces los planos son paralelos.
Dos planos son paralelos cuando sus trazas homónimas, aquellas sobre los planos horizontal y vertical de proyección respectivamente, son paralelas.

Problemas tipo de planos paralelos

E.3) Trazar por un punto P un plano α paralelo a otro β dado.
E.4) Trazar por un punto P del segundo octante un plano α paralelo a otro β dado.

RECTA Y PLANO PARALELOS

Una recta (r) y un plano (α) son paralelos cuando existe al menos una recta (s) perteneciente al plano paralela a la recta (r). Por lo tanto las proyecciones de las rectas (r y s) sobre los dos planos de proyección serán paralelas.

Problemas tipo de rectas y planos paralelos

E.5) Trazar una recta (r) por un punto (P) paralela a un plano (β) dado.
E.6) Trazar un plano (β) paralelo a una recta (r) dada que pase por un punto (P).
E.7) Trazar un plano (α) paralelo a una recta (s) dada que pase por una recta (r).
E.8) Trazar un plano paralelo a dos rectas (r y s) no coplanarias por un punto (P) dado.

RECTAS PARTICULARES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En la resolución de problemas de paralelismo, perpendicularidad, angularidad y otros nos facilitará la tarea el empleo de unas rectas particulares, estas son:

- Recta horizontal: cuya proyección vertical el paralela a la LT
- Recta frontal: cuya proyección horizontal es paralela a la LT
- Recta de máxima inclinación: forma un ángulo recto con la traza vertical de un plano.
- Recta de máxima pendiente: forma un ángulo recto con la traza horizontal de un plano.