TRANSFORMACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA ELIPSE, POR HOMOLOGÍA

Hoy vamos a realizar la transformación de una circunferencia en una elipse por medio de la homología.

La homología es una transformación proyectiva en la que se establece una correspondencia entre dos puntos, dos rectas o dos figuras. A su vez las magnitudes lineales y angulares de la figura transformada varían respecto de la original, es por tanto una transformación de tipo anamórfico.

Para transformar una circunferencia en una elipse partimos de una circunferencia, una recta límite, un centro de homología y un eje de homología. Una manera interesante de abordar este problema es aplicar las propiedades de polaridad.

Recordemos que la polar de una circunferencia es la recta que une los puntos de tangencia de la circunferencia respecto a un punto.

Por otro lado siempre que apliquemos una transformación por homología a una circunferencia, esta se transformará en una curva cónica (elipse, parábola o hipérbola).

• Si la circunferencia no corta a la recta límite, obtenemos una elipse.
• Si la circunferencia es secante a la recta límite, obtenemos una hipérbola.
  
• Si la circunferencia es tangente a la recta límite, obtenemos una parábola.

Para realizar la transformación de la circunferencia debemos realizar los siguientes pasos.

Transformación de una circunferencia mediante las propiedades de POLARIDAD

1. En primer lugar vamos a centrarnos en la recta límite y la circunferencia. Primero hallamos el punto de la recta límite situado en la intersección de la recta perpendicular por el centro de la circunferencia a la recta límite. Lo llamaremos M.

Ahora desde M trazamos las tangentes a la circunferencia y, uniendo los puntos de tangencia T1 y T2, determinamos la polar. Hallamos también el punto medio de la polar, el punto P.

2. Una vez tenemos la polar respecto a M y el punto P, hallamos la polar respecto al centro de la homología, punto O, obtenemos los puntos T3 y T4 y la polar. El punto medio de esta polar lo llamaremos N. (El punto N recibe el nombre de conjugado armónico de O respecto a la circunferencia).

3. A continuación hallamos la mediatriz del segmento ON. En la intersección de la mediatriz con la recta límite obtenemos un nuevo punto, que llamaremos H.

4. La circunferencia de radio HO=HN, corta a la recta límite en dos puntos, K y J. Las rectas que unen K con P y J con P son homólogas de los ejes de la elipse que vamos a trazar. Por lo tanto prolongamos las rectas hasta el eje de la homología que nos han dado, para hallar posteriormente los puntos transformados.

5. Las rectas que pasan por KP y JP cortan a la circunferencia dada en los puntos A, B, C, D. Estos puntos son los homólogos de los extremos de los ejes. Ahora podemos definir los ejes de la elipse, hallando los puntos homólogos A´ B´ C´ y D´. 

Además debemos saber que la recta OK, será paralela al eje de la elipse que pasa por los puntos homólogos de A y B, por A´ B´.

Puedes ver todo el proceso en GEOGEBRA en el siguiente enlace: HOMOLOGÍA-ELIPSE