El siguiente ejercicio fue propuesto en un examen de 1º de Bachillerato. Es un problema que se puede solucionar por diferentes métodos según nuestro nivel de conocimientos. Vamos a solucionarlo de varias formas y veremos que planteandolo como una inversión la solución es inmediata.
El enunciado solicita: obtener las circunferencias tangentes a una circunferencia de centro C, una recta tangente (r) y un punto de tangencia (T) según la figura adjunta.
Análisis del problema
Si examinamos el problema nos daremos cuenta que hay dos circunferencias solución. Una a cada lado de la recta tangente (r) que comparten el punto tangente (T) y son interiores a la circunferencia dada. Además observamos que los centros de estas circunferencias se deben situar en la perpendicular a la recta (r) que pasa por el punto de tangencia (T). El problema consiste en determinar los centros de las circunferencias solución y los puntos de tangencia con la circunferencia dada.
Existen varias maneras de resolver este problema, una es por diferencia de radios, otra aplicando el concepto de inversión y también lo podemos hacer con una circunferencia auxiliar y hallando el centro radical.
Alternativamente podemos enfocar el problema percartandonos que el arco capaz de 90º que pasa por el punto T definirá los puntos de tangencia. Por tanto bastaría con unir los extremos del diámetro, paralelo a la recta que contiene los centros de las circunferencias buscadas, con el punto T para hallar los puntos de tangencia comunes en la circunferencia dada. Esto ocurre en aplicación directa del teorema de Tales.
Alternativamente podemos enfocar el problema percartandonos que el arco capaz de 90º que pasa por el punto T definirá los puntos de tangencia. Por tanto bastaría con unir los extremos del diámetro, paralelo a la recta que contiene los centros de las circunferencias buscadas, con el punto T para hallar los puntos de tangencia comunes en la circunferencia dada. Esto ocurre en aplicación directa del teorema de Tales.
Sin embargo el concepto que hay detrás la solución comentada es la inversión, que además es la manera más rápida de solucionarlo. Para ello debemos suponer que la recta dada se invierte en la circunferencia y viceversa.
Como decíamos si planteamos una inversión la solución es inmediata. En esta solución la circunferencia de autoinversión (en rojo) quedaría definida por los puntos de corte de la recta con la circunferencia (puntos dobles) y tendría como centro cada extremo del diámetro perpendicular a la recta (centros de inversión). Vamos a detallar los pasos.
1. Determinamos los centros de inversión, en los extremos del diámetro perpendicular a la recta.
2. Unimos los centros de inversión con el punto de tangencia que nos dan, en la intersección con la circunferencia hallamos los puntos de tangencia que buscamos.
3. Al unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en la intersección con la perpendicular por T, encontramos los centros de las circunferencias solución.
Solución del problema
Como decíamos si planteamos una inversión la solución es inmediata. En esta solución la circunferencia de autoinversión (en rojo) quedaría definida por los puntos de corte de la recta con la circunferencia (puntos dobles) y tendría como centro cada extremo del diámetro perpendicular a la recta (centros de inversión). Vamos a detallar los pasos.
1. Determinamos los centros de inversión, en los extremos del diámetro perpendicular a la recta.
2. Unimos los centros de inversión con el punto de tangencia que nos dan, en la intersección con la circunferencia hallamos los puntos de tangencia que buscamos.
3. Al unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en la intersección con la perpendicular por T, encontramos los centros de las circunferencias solución.
Otra manera de solucionar el ejercicio:
1. Trazamos una circunferencia auxiliar, una del haz de circunferencias de las soluciones. Esta auxiliar será tangente en T (pasará por T) y tendrá su centro en el eje perpendicular a T.
2. Hallamos el Centro Radical, intersección del eje radical que determina la auxiliar con la circunferencia dada y la recta. El centro radical, en este caso, estará en la recta dada.
3. Dibujamos la tangente a la circunferencia auxiliar desde el Centro Radical y lo llevamos a la circunferencia del enunciado. (Nótese que en este caso podemos utilizar directamente el punto T, sin hacer la tangente a la auxiliar.)
4. Determinamos los centros de las circunferencias tangentes interiores (O1 y O2) uniendo los puntos de tangencia con el centro (C).
Puedes comprobar aquí otra manera de entender la solución, desplaza el punto verde.
No hay comentarios:
Publicar un comentario