viernes, 19 de febrero de 2016

EJERCICIO: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CPR

El siguiente ejercicio fue propuesto en un examen de 1º de Bachillerato.

El enunciado solicitaba obtener las circunferencias tangentes a una circunferencia de centro C, una recta tangente (r) y un punto de tangencia (T) según la figura adjunta.


Si examinamos el problema  nos daremos cuenta que hay dos circunferencias soluciones. Una a cada lado de la recta tangente (r) que comparten el punto tangente (T) y son interiores a la circunferencia dada.
Los centros de las circunferencias se deben situar en la perpendicular a la recta (r) en el punto de tangencia (T).
El problema consiste en determinar los centros de las circunferencias solución y los puntos de tangencia con la circunferencia dada.

Existen varias maneras de resolver este problema, una es calculando la diferencia de radios, otra sería aplicando el concepto de inversión.

Otra manera de enfocar el problema es si nos percartarmos de que el arco capaz de 90º que pasa por el punto T nos definirá los puntos de tangencia comunes (sol-1 y sol-2). Por tanto bastaría con unir los extremos del diámetro, paralelo a la recta que contiene los centros de las circunferencias buscadas, con el punto T para hallar los puntos de tangencia comunes en la circunferencia dada.

Esto ocurre en aplicación directa del teorema de Tales. Si nos fijamos la recta que corta a las circunferencias soluciones por el punto T y el punto de tangencia común a la circunferencia envolvente son los puntos que dividen a las circunferencias solución en partes proporcionales iguales. Esto es la razón de los segmentos de corte es igual. Y este caso sólo ocurre en el punto de tangencia común de ambas circunferencias.

Sin embargo el concepto que hay detrás la solución comentada es la inversión.  Para ello debemos suponer que la recta dada se invierte en la circunferencia y viceversa.

Entonces la circunferencia de autoinversión (en rojo) quedaría definida por los puntos de corte de la recta con la circunferencia y tendría como centro el extremo del diámetro perpendicular a la recta. Pero en este caso hay dos soluciones, luego tendríamos que utilizar ambos extremos del diámetro, en la figura son los puntos E y F que son los centros de cada inversión del punto T. Por último T` y T´1 son los puntos de tangencia buscados.





Puedes comprobar aquí la solución, de manera dinámica.

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