Teorema de Tales

 El teorema de Tales, también escrito Thales, debe su nombre al matemático griego Tales de Mileto (S. VI a. C.). En realidad dicho teorema son dos teoremas intrínsecamente relacionados por la geometría clásica. Esto es, son dos teoremas fundamentales de la ciencia que estudia las figuras geométricas basadas en los elementos de Euclides.

Mientras que el primer teorema explica la forma de construir un triángulo semejante a otro existente, el segundo teorema hace referencia a una propiedad singular de los triángulos rectángulos: la ubicación del lugar geométrico llamado circuncentro.

El circuncentro en los triángulos rectángulos se encuentra siempre en el punto medio de la hipotenusa y resulta ser el punto del plano ─centro de la circunferencia─, que contiene a los tres vértices del triángulo. Estos teoremas se pueden expresar de la siguiente manera:

Teorema primero.

"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado".

Como se puede observar en la figura anterior los triángulos sombreados de vértices ABC y AFJ son semejantes.

Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. En el ejemplo se puede ver que dos lados homólogos son BC y FJ. A su vez son ángulos homólogos los  que forman los puntos ABC y los puntos AJF. Siendo en ambos casos ángulos rectos (90º).



Teorema segundo.

"Sea C un punto de la circunferencia de diámetro AB, distinto de A y de B. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo".

Como se puede observar en la figura anteriortodos los triángulos que podamos formar con cualquier punto de la circunferencia que recorre desde el punto A hasta el B, que tiene por radio la mitad del segmento AB, son triángulos rectángulos. Siendo el punto D el centro de la circunferencia, llamado circuncentro.

Mientras que en el primer teorema no era condición necesaria que el triángulo fuese rectángulo, en el segundo teorema se nos desvela una propiedad fundamental de la geometría: todos triángulos que cumplen con la condición de tener un vértice en la circunferencia de centro D son triángulos rectángulos.

Aplicación del primer caso.

Como se aprecia en la siguiente figura, se ha troceado el triángulo ABC de forma que la hipotenusa está dividida en cinco partes iguales de 2 unidades cada una.

Aplicando el primer teorema de Tales trazamos paralelas al tercer lado, el BC, por cada una de las divisiones para obtener los puntos L, K, J e I que determinan cinco segmentos de igual longitud.

Ahora podemos observar que se cumple la misma proporción entre la longitud de los distintos segmentos en el lado AC con las correspondientes al lado AB. De esta manera hemos conseguido dividir uno de los catetos del triángulo en partes iguales; únicamente conociendo las distancias entre puntos del lado opuesto.

Por tanto si tenemos dos segmentos que se cortan en un punto, podemos dividir el otro trazando paralelas a la recta que une los extremos de dichos segmentos.

         El resultado de la figura anterior, expresado en forma de fracción quedaría así:

La proporción de los segmentos en los que quedan divididos los lados son iguales. A la vez, podemos observar que los triángulos sombreados de la figura también son semejantes.

Tales de Mileto y la medición de la pirámide de Keops.

Uno de los episodios más conocidos del matemático griego Tales de Mileto fue la medición de la pirámide Keops. Para hacer esta proeza se sirvió únicamente de una cuerda.

Tales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho. Luego fijó los ojos en el borde extremo de su sombra hasta que esta tocó la circunferencia, es decir, cuando la longitud de la sombra fue igual a su estatura. Entonces dio orden a su ayudante para que midiera la sombra de la pirámide, porque en ese momento coincidiría con su altura. Así consiguió Tales conocer la altura de la pirámide.

Imagen de la pirámide de Keops

«Kheops-Pyramid» de Nina - Trabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY 2.5 vía Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kheops-Pyramid.jpg#/media/File:Kheops-Pyramid.jpg

Efectivamente lo que hizo Tales fue aplicar el teorema que lleva su nombre, en ese momento del día el triángulo que formaban él y su sombra era semejante al de la altura de la pirámide con su sombra.

 Aplicación del segundo caso.

El segundo teorema puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia dada, que además pasen por un punto A conocido y externo a la misma.

Si tenemos una circunferencia y queremos averiguar las tangentes a dicha circunferencia desde un punto exterior a la circunferencia, aplicamos la propiedad expresada en el segundo teorema de Tales.

En la figura superior se observa cómo se localizarían las tangentes a una circunferencia dada desde el punto A. Para ello hallamos la circunferencia desde A hasta el centro (C), con radio la mitad de AC.

Por el teorema de Tales sabemos que los segmentos que unan el centro de la circunferencia dada con un punto N de la nueva circunferencia serán perpendiculares al segmento formado por AN. De esta manera si el punto seleccionado N pertenece a su vez a ambas circunferencias tendremos, también, el punto de tangencia desde A.

Y con esta aplicación concluimos la explicación del teorema de Tales.