martes, 9 de febrero de 2016

Centro radical y circunferencia ortogonal (CCC)

Ejercicio:

Dadas tres circunferencias obtener la circunferencia ortogonal y el centro radical.

Solución I.

Vamos a analizar la solución diferenciando el caso en que dos de las circunferencias se cortan (Caso I) y cuando las tres circunferencias son exteriores (Caso II).

En el primer caso propuesto dos de las circunferencias dadas se cortan. Este caso nos permite obtener uno de los ejes radicales directamente trazando dicho eje por los puntos de intersección (puntos de potencia cero).

Para obtener el segundo eje radical, en las circunferencias que no se cortan, procedemos  a dibujar una circunferencia auxiliar (en color azul) que nos dará dos rectas que se cortan en un punto. Desde ese punto trazaremos la recta perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias para obtener el segundo eje radical (en color rojo).

El punto de intersección de los ejes radicales será el centro radical (CR). Trazando la circunferencia de centro CR hasta los puntos de tangencia a las circunferencias dadas obtenemos la circunferencia ortogonal a las tres.

(Geogebra. Puedes desplazar los puntos C y B para cambiar el tamaño de la figura).




Solución II.

En el  siguiente caso las circunferencias no se cortan.

En este caso procedemos  a dibujar DOS circunferencias auxiliares, una para cada dos circunferencias con sus respectivas rectas uniendo los puntos de corte (en color azul).

Cada par de rectas  se cortan en un punto desde donde trazaremos la recta perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias para obtener los dos ejes radicales (en color rojo).

Una vez determinados los ejes radicales el punto de intersección de éstos será el centro radical (CR) y de la circunferencia ortogonal a las tres circunferencias dadas. Por último, para trazar dicha circunferencia, utilizamos el radio determinado desde CR hasta los puntos de tangencia de las tres circunferencias, que son los puntos con la misma potencia.


 (Geogebra. Puedes desplazar los puntos C y B para cambiar el tamaño de la figura).

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