EJERCICIO 1

Un librero tiene dos estanterías cuadradas repletas de libros en su tienda. Una estantería dispone de 4 filas de libros mientras que la otra tiene 3 filas. En ambas estanterías las baldas con libros están separadas a la misma altura.

El librero quiere hacer una nueva estantería cuadrada para colocar en ella todos sus libros. Si mantenemos la misma separación entre las baldas de libros, ¿cuántas filas de libros tendrá como mínimo la nueva estantería?

Para ver la solución al problema pulsa el botón o el enlace. Encontrarás la respuesta explicada paso a paso y de forma dinámica, con el programa Geogebra.

Solución aquí

Para solucionar de manera sencilla el problema debemos aplicar el teorema de Pitágoras. Este teorema establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Paso 1. Nuestras estanterías son cuadradas y, por tanto, podemos establecer que los lados de los catetos de nuestro triángulo rectángulo son los lados de las estanterías.
Para ello dibujamos un triángulo rectángulo cuyos lados menores, o catetos, son los lados de las estanterías de 4 y 3 filas. A continuación levantamos un cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo que hemos creado.
Observe el lector que no hemos necesitado conocer la separación entre baldas, porque son todas iguales, ni tampoco la altura de las estanterías porque ambas son cuadradas.
El resultado gráficamente se muestra en la figura siguiente.

Paso 2. Una vez construida la superficie de la nueva estantería, sombreada en verde, procedemos a calcular el número de baldas para colocar los libros.

Para ello podemos transportar las distancias de una de las estanterías a la nueva superficie. Elegimos el punto común A como centro de la translación y realizamos las circunferencias con radio la distancia entre las baldas; obteniendo los puntos de intersección: Q, R, S y T en la nueva estantería. Observamos que disponemos de 5 filas. Esta es la solución al problema planteado.

Para concluir diremos que necesitamos 5 filas de libros en la nueva estantería. Una estantería cuadrada de 5 filas, con una separación idéntica entre sus baldas, tiene la misma superficie que la suma de las dos estanterías cuadradas de 3 y 4 filas. Efectivamente podemos comprobar que aplicando el teorema de Pitágoras la suma: (4·4)+(3·3) = 16+9 = 25

Aquí tienes la solución en Geogebra. Puedes comprobar que desplazando los puntos A, B y C varia la superficie de los cuadrados de tal manera que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si no se ves la solución en Geogebra pulsa aquí.

Pregunta para la reflexión: ¿se te ocurre otra manera gráfica de plantear el problema?

Sugerencia. A partir de los rectángulos que forman las estanterías se puede formar una nueva superficie cuadrada.

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