INVERSIÓN Solución ejercicio 1

Enunciado del ejercicio de inversión planteado aquí.
A continuación explicamos la solución por pasos del Ejercicio 1 de INVERSIÓN.

Paso 1. Calcular el radio de la circunferencia de autoinversión.

Para calcular el radio de la circunferencia de autoinversión (segmento IK) determinamos geométricamente la raíz cuadrada del producto IA·IA'. Esto es, sabemos que el producto de IA·IA' = r·r = cte. Por tanto buscamos "r", la raíz de esa constante. La construcción es la misma que haríamos para hallar un cuadrado, de lado "r", con igual superficie que el rectángulo IA por IA'.

La raíz cuadrada que buscamos se halla gráficamente en la perpendicular de I hasta el arco capaz de 90º, el radio es el segmento IK.

Paso 2.  Dibujar la circunferencia de puntos dobles o autoinversión.

Con radio IK y centro en I (centro de la inversión) determinamos la circunferencia de autoinversión. Podemos observar además que la potencia de inversión es positiva, el punto A y su transformado se encuentran al mismo lado respecto al centro de inversión.

Paso 3. Hallar el inverso del punto B.

Esta operación la podemos realizar de diferentes maneras, pero hay una que resulta inmediata. Si nos fijamos tenemos ya tres puntos, uno es A, otro su inverso A' y también B o C.
Si recordamos que una de las propiedades de la inversión es que dos puntos y sus inversos son concíclicos (están en la misma circunferencia), simplemente con trazar la circunferencia definida por A, A' y B podremos obtener B'. ¿Dónde está  B'? Pues en la intersección de la circunferencia con la recta que determinan I  y B.

Paso 4. Hallamos los inversos de los lados AB y el segmento BA'.

El lado AB, su inverso, ya lo tenemos al conocer los inversos A' (dato) y B' que hemos hallado. Para determinar el arco que define este lado podemos considerar un tercer punto de la circunferencia de puntos dobles, concretamente el que tiene su intersección con el segmento AB y la circunferencia de  autoinversión (cpd) que sabemos que es inverso de si mismo. Con los tres puntos hallamos el centro del arco con dos mediatrices y tenemos el lado recto transformado por inversión en el lado curvo B'A'.

Recordemos en este punto que el inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Paso 5. Calcular el inverso de C.

Calcular el inverso de C es inmediato puesto que las condiciones del problema nos determinaban que el triángulo es isósceles y el punto de inversión A' estaba en la perpendicular de BC con IA. Por lo tanto, el resto de nuestra figura va a ser simétrica respecto al eje que forma I-A-A'.

A continuación puedes ver la secuencia de la construcción de la figura pulsando el botón de avance en la barra inferior de navegación.

INVERSIÓN ejercicio 1

En esta ocasión realizaremos un ejercicio de inversión. Pero antes vamos a resumir los conceptos básicos de la inversión. (Puedes ver el tema completo de Inversión en el plano aquí ).

1. La inversión es una transformación con centro, donde el punto transformado está  alineado con el centro de inversión.
2. Se denomina potencia de inversión a la relación  dada por el producto de las distancias de puntos P y transformado P' al centro de inversión I. Esa relación es constante, esto es: IP·IP'=K·K=cte
3. Si la potencia de inversión es positiva, un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión. La circunferencia de autoinversión,  de radio la raíz de la potencia (K), es doble y de puntos dobles.
4. Si la potencia es negativa el centro de inversión se encuentra entre cada punto y su transformado. La circunferencia de autoinversión es doble pero no de puntos dobles.
5. Dos puntos y sus inversos son concíclicos. Las rectas que unen dos puntos y la que unen sus inversos son antiparalelas (dos a dos forman el mismo ángulo).

El ejercicio de inversión propuesto es el siguiente:

Dado un triángulo isósceles, el centro de inversión (I) y el inverso de A,  hallar el inverso del triángulo ABC.
El inverso del vértice (A) se encuentra en la intersección perpendicular de la recta IA con CB.

Pulsa aquí para ir a la solución del ejercicio 1 de inversión

Resolución parametrizada de un problema geométrico

Dadas dos circunferencias C₁ y C₂ (de igual radio), calcular la circunferencia C₃ de radio R₃ conocido, que forme el ángulo α con C₁ y ß con C₂, y estudiar las posibles soluciones.

El modelo de geogebra tiene que tener los siguientes elementos variables mediante un deslizador:

• Radio de C3, R3.
• Ángulo α entre C1 y C3.
• Ángulo ß entre C2 y C3.

Para comprobar las diferentes soluciones se pueden altenar los centros de las circunferencias O1 y O2, esto nos dará la posición de la circunferencia con centro O3 en la zona inferior.

Para comprobar como varía la circunferencia solución (rojo) cambie los ángulos con los deslizadores. También se puede variar el radio de la circunferencia solución.