INVERSIÓN Solución ejercicio 1

Enunciado del ejercicio de inversión planteado aquí.
A continuación explicamos la solución por pasos del Ejercicio 1 de INVERSIÓN.

Paso 1. Calcular el radio de la circunferencia de autoinversión.

Para calcular el radio de la circunferencia de autoinversión (segmento IK) determinamos geométricamente la raíz cuadrada del producto IA·IA'. Esto es, sabemos que el producto de IA·IA' = r·r = cte. Por tanto buscamos "r", la raíz de esa constante. La construcción es la misma que haríamos para hallar un cuadrado, de lado "r", con igual superficie que el rectángulo IA por IA'.

La raíz cuadrada que buscamos se halla gráficamente en la perpendicular de I hasta el arco capaz de 90º, el radio es el segmento IK.

Paso 2.  Dibujar la circunferencia de puntos dobles o autoinversión.

Con radio IK y centro en I (centro de la inversión) determinamos la circunferencia de autoinversión. Podemos observar además que la potencia de inversión es positiva, el punto A y su transformado se encuentran al mismo lado respecto al centro de inversión.

Paso 3. Hallar el inverso del punto B.

Esta operación la podemos realizar de diferentes maneras, pero hay una que resulta inmediata. Si nos fijamos tenemos ya tres puntos, uno es A, otro su inverso A' y también B o C.
Si recordamos que una de las propiedades de la inversión es que dos puntos y sus inversos son concíclicos (están en la misma circunferencia), simplemente con trazar la circunferencia definida por A, A' y B podremos obtener B'. ¿Dónde está  B'? Pues en la intersección de la circunferencia con la recta que determinan I  y B.

Paso 4. Hallamos los inversos de los lados AB y el segmento BA'.

El lado AB, su inverso, ya lo tenemos al conocer los inversos A' (dato) y B' que hemos hallado. Para determinar el arco que define este lado podemos considerar un tercer punto de la circunferencia de puntos dobles, concretamente el que tiene su intersección con el segmento AB y la circunferencia de  autoinversión (cpd) que sabemos que es inverso de si mismo. Con los tres puntos hallamos el centro del arco con dos mediatrices y tenemos el lado recto transformado por inversión en el lado curvo B'A'.

Recordemos en este punto que el inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Paso 5. Calcular el inverso de C.

Calcular el inverso de C es inmediato puesto que las condiciones del problema nos determinaban que el triángulo es isósceles y el punto de inversión A' estaba en la perpendicular de BC con IA. Por lo tanto, el resto de nuestra figura va a ser simétrica respecto al eje que forma I-A-A'.

A continuación puedes ver la secuencia de la construcción de la figura pulsando el botón de avance en la barra inferior de navegación.