APOLONIO CCC

El llamado problema de Apolonio consiste en trazar las circunferencias tangentes a tres circunferencias. En su forma general las circunferencias son de radio diferente y exentas, sin cortarse entre ellas. Se trata de un problema importante de la geometría euclidiana que planteó Apolonio de Pérgamo (262-190 a.C.) en sus obras y tiene aplicaciones en diferentes campos.

Si estudiamos el problema con circunferencias de radio variable observaremos que una circunferencia de radio nulo se convierte en un punto y otra de radio infinito en una recta. Combinando los tres elementos mencionados, puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C) podemos obtener diez casos diferentes del problema de Apolonio.

En esta ocasión vamos a explicar la solución del problema CCC, con tres circunferencias. Para ello transformaremos este caso en otro más sencillo y luego emplearemos la inversión en el plano.

Existen otros métodos para solucionar el problema. Podemos hacerlo por homotecia mediante el llamado "procedimiento de Gergonne" o también empleando haces corradicales de circunferencias. Incluso hoy sabemos, por referencias en textos antiguos,  que Apolonio lo había solucionado en su obra Epaphaí (Tangencias). Sin embargo este libro no se ha conservado hasta nuestros días así que desconocemos cómo lo realizó él.

En la época moderna el problema de Apolonio se resolvió por primera vez a finales del siglo XVI. Lo hicieron Adriaan van Roomen y, casi simultaneamente,  François Viète. Posteriormente el procedimimiento del primero fue simplificado por Newton y el del segundo será completado por Descartes. El método de Roomen utilizaba hipérbolas mientras que el de Viète se ajustaba mejor a los métodos antiguos de "regla y compás".

El problema de Apolonio CCC tiene OCHO soluciones en su forma general y de manera resumida diremos que para resolverlo hay que disminuir la circunferencia más pequeña a un punto mientras que dilatamos las otras dos. De esta manera, convertiremos el problema CCC en un caso conocido: el PCC. (También puedes ver la explicación del problema anterior de Apolonio PCC pulsando en este enlace: Apolonio PCC).

APOLONIO CCC

1. Comenzaremos por restar el radio de la circunferencia más pequeña a las otras dos.

2. Desde el centro O1 de la circunferencia más pequeña (convertida en un punto) trazamos el arco capaz de 90º hasta el centro O3 de la otra circunferencia. 

3. Con centro en O1 y radio hasta el punto de tangencia T trazamos una circunferencia. Esta será la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión que utilizaremos a continuación.

4. Dibujamos la circunferencia inversa de C2 que hemos dilatado (Cr2-r1) y tomamos como centro de inversión el punto O1.

Para trazar la circunferencia inversa de C2 tenemos que hallar los inversos de los puntos A y B, extremos de la circunferencia. Una vez tenemos los puntos inversos Ai y Bi hallamos el punto medio y trazamos la circunferencia inversa.

Nota: no se puede hallar directamente el inverso del centro O2, pues la inversión es una transformación homográfica y conforme (conserva relaciones angulares) pero no conserva las magnitudes lineales ni las proporciones métricas. Por lo tanto el inverso del centro O2 no correspondería con el centro de la circunferencia inversa.

5. Trazamos las tangentes entre la circunferencia invertida (C2inv) y la de centro O3. 

6. A continuación deshacemos la inversión de las rectas tangentes. Obtenemos así una primera circunferencia tangente a las dos que hemos dilatado y que pasa por O1. (En la imagen dibujada en azul con trazos discontinuos).

Como en el caso PCC, para deshacer la inversión de la tangente bastará con encontrar los puntos de tangencia de la recta con las circunferencias y unirlos con el centro de la inversión. En la prolongación encontraremos los puntos de tangencia inversos.

Para hallar el centro de la circunferencia unimos mediante una semirrecta los puntos de tangencia con los centros O2 y O3 respectivamente, en la intersección de las dos semirrectas hallaremos el primer centro de la solución.

7. Por último trasladamos la circunferencia obtenida (de trazos discontinuos) hasta las circunferencias originales. Para ello trazamos la circunferencia concéntrica que pase por los puntos de tangencia trasladados a las circunferencias originales. Esta circunferencia será la primera solución.

Si repetimos el proceso con el resto de las rectas tangentes (interiores y exteriores) y también sumando el radio de O1 a las otras circunferencias encontraremos las OCHO soluciones. 

Puedes consultar otros problemas de Apolonio realizados en el Blog en la lista del índice del apartado de Dibujo Técnico (aquí).