APOLONIO PCC, mediante centro de inversión en P

En esta ocasión vamos a resolver el problema de Apolonio para hallar las circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto, el caso PCC.

Anteriormente hemos resuelto este mismo problema por inversión, tomando como centros de inversión los puntos de corte de las tangentes interiores y exteriores (ver otra solución pulsando aquí).

Sin embargo ahora lo haremos con el centro de la inversión en el punto dado (P).

El caso que nos ocupa, PCC, tiene CUATRO soluciones en su forma general. Vamos a describir los pasos para resolverlo.

APOLONIO Pcc

1. Planteamos la inversión. Tomamos como centro de inversión el punto P.

Suponemos una inversión en el plano con centro P para transformar una de las circunferencias en su inversa. De esta manera podremos trazar las tangentes a las nuevas circunferencias y al deshacer la inversión obtendremos las circunferencias tangentes que buscamos.

2. Hallamos el punto T de tangencia en C1 respecto a P.

Para ello trazamos la tangente a la primera de las circunferencias (C1) empleando el arco capaz de 90º de P a O1 y en la intersección encontramos el punto de tangencia T.

3. Hallamos la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión.

Si observamos el dibujo vemos que PT es el radio de la circunferencia de autoinversión (C.P.D.). Además podemos comprobar que los puntos cualquiera A y B de la circunferencia tienen sus inversos A´ y B´ en la misma circunferencia.

5. Hallamos la inversa de la otra circunferencia.

En este punto recordemos la teoria de inversión: "una circunferencia que no pasa por el centro de inversión tiene como inversa otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de la inversión". Luego la figura inversa de la circunferencia C2 será otra circunferencia. Para hallar la circunferencia inversa recurrimos a los puntos M y N de los extremos del diámetro y obtenemos los puntos inversos M´y N´.

Una vez tenemos los puntos  M´y N´ en el punto medio encontraremos el centro de la circunferencia C2´, el punto O3.

IMPORTANTE: el centro de C2´ no coincide con el inverso de O2, por eso empleamos el punto medio de los inversos del diámetro.

6. Hallamos las tangentes a las circunferencias inversas C_1=C_1' y C_2'.

Tenemos que hallar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias, en este caso a las circunferencias C1 y a la inversa de C2 la circunferencia  C2´. Para no complicar el dibujo añadiré únicamente las tangentes sin su construcción.

En el Blog ya hemos explicado como trazar tangentes a dos circunferencias de manera rápida (puedes consultarlo pulsando aquí).

7. Las inversas de las tangentes serán las circunferencias solución.

Ahora debemos dibujar las figuras inversas a las rectas tangentes que hemos hallado anteriormente. Como las rectas tangentes no pasan por el centro de inversión se transformarán en circunferencias que pasan por P, centro de la inversión, manteniendo la condición de tangencia a las circunferencias C1 y C2.

La manera más sencilla de encontrar los centros de las nuevas circunferencias es hallando los  inversos de los puntos de tangencia. Estos puntos deben estar alineados con centro de la inversión P. Una vez hallados los puntos de tangencia de las circunferencias solución los uniremos, mediante una recta, con los centros de las circunferencias O1 y O2. En  las intersecciones de estas rectas encontraremos los centros de las circunferencias inversas.

En la siguiente imagen se muestra como hallar uno de los centros.

En la siguiente imagen se ha dibujado la solución final con las cuatro tangentes en un color diferente para identificar mejor su circunferencia inversa.

Puedes consultar otros problemas de Apolonio realizados en el Blog en la lista del índice del apartado de Dibujo Técnico (aquí).