En esta ocasión vamos a explicar el problema de Apolonio (crr) para trazar las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y una circunferencia. Este problema tiene CUATRO soluciones en el caso de que la circunferencia sea interior a las rectas y OCHO considerando otras posiciones de la circunferencia (que corte a una recta).
En esta ocasión lo haremos aplicando
los conceptos de POTENCIA. En otra entrada veremos que podemos realizar
este problema mediante homotecia.
También puedes ver los demás problemas de Apolonio en el índice del apartado de Dibujo del blog (o pulsando aquí).
Para resolver el problema utilizaremos el procedimiento de DILATACIÓN de la circunferencia, sumando y restando el radio a las rectas y así convertiremos la circunferencia en un punto.
Lo primero que debemos saber es que las soluciones se encontrarán en la bisectriz de la rectas y serán tangentes a la circunferencia. Encontraremos dos tipos de soluciones que precisarán de dos construcciones gráficas (circunferencias de soluciones exteriores e interiores).
1. Trazar la bisectriz de las dos rectas.
2. Trazar dos rectas paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia.
3. Trazar una circunferencia auxiliar con centro en la bisectriz y radio hasta el centro de la circunferencia dada.
4. Hallar el centro radical.
6. Trasladar el punto de tangencia a la recta.
A continuación hallaremos las otras dos circunferencias de la solución. Para ello repetiremos el procedimiento pero esta vez sobre la recta paralela interior (diferencia del radio).
7. Hallamos el otro centro radical (N) sobre la recta paralela interior.
8. Hallamos el nuevo punto de tangencia. Trazamos el arco capaz de 90º entre el punto N y el O de la circunferencia auxiliar.
9. Trasladamos el punto de tangencia sobre la recta paralela y perpendicularmente sobre la recta original. Obtenemos los puntos T3 y T4. Puntos de tangencia de las nuevas circunferencias de la solución.
10. Trazamos las dos circunferencias con centros en O3 y O4 y radios hasta los respectivos puntos de tangencia T3 y T4.
Lo primero que debemos saber es que las soluciones se encontrarán en la bisectriz de la rectas y serán tangentes a la circunferencia. Encontraremos dos tipos de soluciones que precisarán de dos construcciones gráficas (circunferencias de soluciones exteriores e interiores).
Solución del problema de Apolonio CRR aplicando la potencia
1. Trazar la bisectriz de las dos rectas.
2. Trazar dos rectas paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia.
3. Trazar una circunferencia auxiliar con centro en la bisectriz y radio hasta el centro de la circunferencia dada.
Trazamos la perpendicular a la bisectriz por el centro de la circunferencia, en la intersección de la perpendicular con la recta paralela más alejada (suma del radio) encontraremos el centro radical (M).5. Hallar el punto de tangencia desde el centro radical a la circunferencia auxiliar.
Trazando el arco capaz de 90º entre el centro de la circunferencia auxiliar y el centro radical (M) en la intersección hallaremos el punto de tangencia (T). Punto con igual potencia a las circunferencias que buscamos.
En las perpendiculares de los puntos de tangencia hallaremos los centros de las circunferencias buscadas, puntos O1 y O2. Las dos primeras circunferencias de la solución tendrán sus radios desde los centros C1 y C2 hasta la perpendicular a la recta dada y serán tangentes a la circunferencia de nuestro enunciado.
A continuación hallaremos las otras dos circunferencias de la solución. Para ello repetiremos el procedimiento pero esta vez sobre la recta paralela interior (diferencia del radio).
7. Hallamos el otro centro radical (N) sobre la recta paralela interior.
8. Hallamos el nuevo punto de tangencia. Trazamos el arco capaz de 90º entre el punto N y el O de la circunferencia auxiliar.
9. Trasladamos el punto de tangencia sobre la recta paralela y perpendicularmente sobre la recta original. Obtenemos los puntos T3 y T4. Puntos de tangencia de las nuevas circunferencias de la solución.
Las cuatro soluciones buscadas quedarían así:
Solución en Geogebra
A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.
Solución en Geogebra
A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.
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