APOLONIO CRR, método por homotecia

Continuando con los problemas de Apolonio, en esta ocasión vamos a resolver el caso de las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y a una circunferencia interior a estas rectas. Es el caso CRR. Lo vamos resolver por homotecia utilizando la dilatación del punto para convertirlo en el caso anterior (PRR).

También puedes ver los demás problemas de Apolonio en el índice del apartado de Dibujo del blog (o pulsando aquí).

Para resolver este problema utilizaremos el procedimiento de DILATACIÓN de la circunferencia, sumando y restando el radio a las rectas y así convertiremos la circunferencia en un punto.

Lo primero que debemos saber es que las soluciones se encontrarán en la bisectriz de la rectas y serán tangentes a la circunferencia. Este problema tiene CUATRO soluciones en el caso de que la circunferencia sea interior a las rectas y OCHO considerando otras posiciones de la circunferencia (que corte a una recta). Veamos el procedimiento por pasos.

1.  Trazamos paralelas a las rectas, con distancia igual al radio de la circunferencia.

2. Trazamos la bisectriz de las rectas. Esta recta será el lugar geométrico donde se situarán los centros de las circunferencias que buscamos.

3. Trazamos una primera circunferencia auxiliar. Esta circunferencia tendrá el centro en la bisectriz y será tangente a las paralelas interiores.

4. Hallamos los puntos de corte en la circunferencia auxiliar con la recta que une el primer centro de homología (punto B) con el centro de la circunferencia que nos han dado (punto O).

5. Hallamos los segmentos que unen los puntos de corte con el centro de la circunferencia auxiliar.  A continuación trazamos paralelas por el centro O para determinar los centros de las circunferencias que buscamos en la bisectriz. 

6. Trazamos las dos primeras circunferencias con centros en C1 y C2 radio hasta los puntos de tangencia T1 y T2. Estos puntos se encontrarán en la perpendicular a una de las rectas dadas y desde los centros C1 y C2 respectivamente. 

Ya tenemos las primeras dos circunferencias (dibujadas en rojo) ahora repetimos el proceso para hallar las otras dos circunferencias. En esta ocasión debemos elegir otra circunferencia auxiliar con radio hasta las paralelas más exteriores.

7. Trazamos la nueva circunferencia auxiliar. 

8. Trazamos la nueva recta de corte, desde el punto A y que por el centro de la circunferencia. Hallamos también los nuevos puntos de corte con la nueva circunferencia auxiliar.

9. Trazamos los segmentos paralelos. Desde los puntos de corte con la circunferencia auxiliar hasta el centro de la auxiliar y desde O hasta la bisectriz.

10. Trazamos las otras dos circunferencias buscadas. Con centro en C3 y C4 y radios hasta T3 y T4 respectivamente.

Solución en Geogebra

A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.