APOLONIO CCC

El llamado problema de Apolonio consiste en trazar las circunferencias tangentes a tres circunferencias. En su forma general las circunferencias son de radio diferente y exentas, sin cortarse entre ellas. Se trata de un problema importante de la geometría euclidiana que planteó Apolonio de Pérgamo (262-190 a.C.) en sus obras y tiene aplicaciones en diferentes campos.

Si estudiamos el problema con circunferencias de radio variable observaremos que una circunferencia de radio nulo se convierte en un punto y otra de radio infinito en una recta. Combinando los tres elementos mencionados, puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C) podemos obtener diez casos diferentes del problema de Apolonio.

En esta ocasión vamos a explicar la solución del problema CCC, con tres circunferencias. Para ello transformaremos este caso en otro más sencillo y luego emplearemos la inversión en el plano.

Existen otros métodos para solucionar el problema. Podemos hacerlo por homotecia mediante el llamado "procedimiento de Gergonne" o también empleando haces corradicales de circunferencias. Incluso hoy sabemos, por referencias en textos antiguos,  que Apolonio lo había solucionado en su obra Epaphaí (Tangencias). Sin embargo este libro no se ha conservado hasta nuestros días así que desconocemos cómo lo realizó él.

En la época moderna el problema de Apolonio se resolvió por primera vez a finales del siglo XVI. Lo hicieron Adriaan van Roomen y, casi simultaneamente,  François Viète. Posteriormente el procedimimiento del primero fue simplificado por Newton y el del segundo será completado por Descartes. El método de Roomen utilizaba hipérbolas mientras que el de Viète se ajustaba mejor a los métodos antiguos de "regla y compás".

El problema de Apolonio CCC tiene OCHO soluciones en su forma general y de manera resumida diremos que para resolverlo hay que disminuir la circunferencia más pequeña a un punto mientras que dilatamos las otras dos. De esta manera, convertiremos el problema CCC en un caso conocido: el PCC. (También puedes ver la explicación del problema anterior de Apolonio PCC pulsando en este enlace: Apolonio PCC).

APOLONIO CCC

1. Comenzaremos por restar el radio de la circunferencia más pequeña a las otras dos.

2. Desde el centro O1 de la circunferencia más pequeña (convertida en un punto) trazamos el arco capaz de 90º hasta el centro O3 de la otra circunferencia. 

3. Con centro en O1 y radio hasta el punto de tangencia T trazamos una circunferencia. Esta será la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión que utilizaremos a continuación.

4. Dibujamos la circunferencia inversa de C2 que hemos dilatado (Cr2-r1) y tomamos como centro de inversión el punto O1.

Para trazar la circunferencia inversa de C2 tenemos que hallar los inversos de los puntos A y B, extremos de la circunferencia. Una vez tenemos los puntos inversos Ai y Bi hallamos el punto medio y trazamos la circunferencia inversa.

Nota: no se puede hallar directamente el inverso del centro O2, pues la inversión es una transformación homográfica y conforme (conserva relaciones angulares) pero no conserva las magnitudes lineales ni las proporciones métricas. Por lo tanto el inverso del centro O2 no correspondería con el centro de la circunferencia inversa.

5. Trazamos las tangentes entre la circunferencia invertida (C2inv) y la de centro O3. 

6. A continuación deshacemos la inversión de las rectas tangentes. Obtenemos así una primera circunferencia tangente a las dos que hemos dilatado y que pasa por O1. (En la imagen dibujada en azul con trazos discontinuos).

Como en el caso PCC, para deshacer la inversión de la tangente bastará con encontrar los puntos de tangencia de la recta con las circunferencias y unirlos con el centro de la inversión. En la prolongación encontraremos los puntos de tangencia inversos.

Para hallar el centro de la circunferencia unimos mediante una semirrecta los puntos de tangencia con los centros O2 y O3 respectivamente, en la intersección de las dos semirrectas hallaremos el primer centro de la solución.

7. Por último trasladamos la circunferencia obtenida (de trazos discontinuos) hasta las circunferencias originales. Para ello trazamos la circunferencia concéntrica que pase por los puntos de tangencia trasladados a las circunferencias originales. Esta circunferencia será la primera solución.

Si repetimos el proceso con el resto de las rectas tangentes (interiores y exteriores) y también sumando el radio de O1 a las otras circunferencias encontraremos las OCHO soluciones. 

Puedes consultar otros problemas de Apolonio realizados en el Blog en la lista del índice del apartado de Dibujo Técnico (aquí).

APOLONIO RCC. (Inversión, potencia y dilataciones).

Uno de los problemas de Apolonio más complejos es trazar las tangentes a dos circunferencias y una recta (caso RCC). En esta ocasión vamos a resolverlo empleando procedimientos de inversión (positiva y negativa) potencia y dilantando las circunferencias y la recta.

Si las circunferencias están a un mismo lado de la recta y no son tangentes entre sí existen OCHO soluciones.

Para resolver el problema tenemos que emplear diferentes métodos y simplificarlo a otros casos que ya hemos explicado. Se trata de tener los conceptos claros.

De partida planteamos el problema con una de las circunferencias más pequeña (C1) que la otra (C2) y dibujando una recta (r) que no corta a las circunferencias.

INVERSIÓN POSITIVA

A1. Planteamiento del problema. Hipótesis de inversión 1.

Nuestro primer objetivo es simplificar el problema en otro que podamos resolver fácilmente. Podemos simplificarlo en el caso Prc. Luego si lo volvemos a simplificar llegaremos al problema básico, caso PPr.

Para hacer esto vamos a dilatar una de las circunferencias (C2, la mayor) y también la recta. El primer paso por lo tanto será sumar y restar el radio de la circunferencia menor (C1) a la circunferencia mayor. Trazaremos las circunferencias paralelas a C2 y luego las paralelas a la recta (r) a una distacia igual al radio de la circunferencia menor.

Ahora tenemos que plantear la inversión en el plano. Si trazamos la perpendicular a la recta por el centro de la circunferencia (O2) obtenemos un primer centro de inversión (C_inv) y un punto A del que podemos obtener su inverso Ai.

Para comenzar escogemos la circunferencia a la que hemos restado el radio C1. En un extremo del diámetro encontraremos el centro de la inversión (C_inv) y en el otro extremo el punto A y en prolongación del diámetro C-O2-A se encontrará el inverso Ai, concretamente en la intersección con la recta más alejada de las circunferencias.

Lo que hemos hecho con esta operación es transformar la circunferencia más pequeña (C1) en un punto mientras que la circunferencia mayor la hemos disminuido proporcionalmente a la más pequeña. Además trabajaremos con la recta paralela a (r) más alejada a la circunferencia C1 para no cambiar las condiciones de tangencia. 

En definitiva, con este paso estamos realizando el problema de Apolonio anterior: el caso Prc (punto, recta y circunferencia).

A continuación trazando el arco capaz entre el centro de inversión (C_inv) y Ai determinaremos la circunferencia de puntos dobles (c.p.d.) también llamada de autoinversión.

A2. Hallar el centro radical y el inverso de O1.

En este primer planteamiento, el punto de intersección de la recta más alejada de C1 con la recta que une el centro de inversión y el centro de la circunferencia (O1) nos determina el centro radical (CR).

Para hallar el punto inverso de O1 utilizaremos la circunferencia de autoinversión que habíamos trazado en el paso anterior. Ahora tenemos dos puntos (O1 y su inverso Oi) y una circunferencia (C1).

También tenemos otra manera de conseguir el punto inverso de O1 mediante la circunferencia concíclica que pasa por los puntos O1, A y Ai. En la siguiente imagen podemos ver que el resultado es el mismo punto Oi. Esto nos evitaría trabajar con la circunferencia de autoinversión.

Una vez aclarado este punto, a partir de ahora podemos continuar el problema como en el caso PPR y trazar las tangentes a dos puntos y una recta utilizando los conceptos de potencia.

A3. Cicunferencia auxiliar y mediatriz.

Dibujamos la circunferencia auxiliar que tiene su centro en la mediatriz de O1-Oi y que pasa por estos puntos y procedemos igual que en el caso PPR para hallar la circunferencias tangentes. En la mediatriz de los puntos O1-Oi se encontrarán los centros de las circunferencias que buscamos.

A4. Hallar el punto de tangencia desde el CR a la circunferencia auxiliar.

Si trazamos el arco capaz entre CR y el centro de la circunferencia auxiliar, en la intersección de ambas curvas hallaremos el punto de tangencia T (punto de igual potencia de todas las circunferencias del haz de soluciones).

A continuación trasladamos el punto de tangencia T sobre la recta más alejada (en la que trabajamos en nuestro planteamiento de partida) para hallar los puntos K y L.

En la perpendicular a K y L encontraremos los puntos de tangencia y centros de las circunferencia que buscamos.

 A5. Trazar las circunferencias de las soluciones.

Con centro en C1 y C2 y radios hasta T1 y T2 podemos trazar las DOS primeras circunferencias de la solución. Dibujadas en color azul en la siguiente imagen.

Para hallar el resto de soluciones repetimos el proceso cambiando los elementos de trabajo.

B1. Planteamiento del problema. Hipótesis de inversión 2.

Volvemos a repetir el proceso, esta vez utilizamos la circunferencia mayor (suma de radios) y la recta más cercana a C1.

En la prolongación del diámetro I-A se encontrará el inverso de B el punto Bi, concretamente en la intersección con la recta más cercana a la circunferencia.

Realizando la construcción con el arco capaz entre el centro de inversión (I) y Bi hallaremos el punto N y la nueva circunferencia de puntos dobles (c.p.d.2) que tiene de radio I-N.

B2. Hallar el centro radical y el inverso de O1.

El nuevo centro radical CR-2 se situará en la recta más cercana a las circunferencias y en el punto de intersección de la circunferencia (cpd-2) de autoinversión y el arco capaz entre I-O1 hallaremos el punto M que proyectado sobre el eje nos dará el inverso de O1: el punto Oi2.

NOTA: un error frecuente es pensar que el punto inverso de O1, el punto Oi2, es el centro de la circunferencia inversa de C1. Pero este punto no coincide con el centro de la circunferencia inversa. 

B3. Cicunferencia auxiliar y mediatriz.

Dibujamos la nueva circunferencia auxiliar con cetro en la mediatriz y que pasa por O1 y por  Oi2.

B4. Hallar el punto de tangencia desde el CR-2 a la circunferencia auxiliar.

Con el arco capaz entre CR-2 y O aux-2 hallaremos el punto de tangencia que proyectaremos sobre la recta paralela más cercana a las circunferencias. En la perpendicular sobre (r) estarán los puntos de tangencia T3 y T4 y en la mediatriz los centros C3 y C4.

B5. Trazar las circunferencias de las soluciones.

Con centro en C3 y C4 yradios hasta T3 y T4 trazaremos otras dos circunferencias de la solución.

Hemos hallado CUATRO de las OCHO soluciones posibles, utilizando siempre la inversión positiva. Podemos utilizar la inversión negativa y hallar otras cuatro circunferencias.

INVERSIÓN NEGATIVA

El método es siempre el mismo, sólo cambiamos el centro de la inversión y la recta de trabajo. En la imagen siguiente se observa como tomamos la inversión negativa y que recta utilizamos para resolver otras dos circunferencias.

Las dos circunferencias que faltan se resuelven tomando el centro de inversión negativo en la circunferencia exterior de C2 y trabajando en la recta paralela más alejada. Como vemos en la siguiente imagen.

Puedes consultar otros problemas de Apolonio realizados en el Blog en la lista del índice del apartado de Dibujo Técnico (aquí).

APOLONIO PCC, mediante centro de inversión en P

En esta ocasión vamos a resolver el problema de Apolonio para hallar las circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto, el caso PCC.

Anteriormente hemos resuelto este mismo problema por inversión, tomando como centros de inversión los puntos de corte de las tangentes interiores y exteriores (ver otra solución pulsando aquí).

Sin embargo ahora lo haremos con el centro de la inversión en el punto dado (P).

El caso que nos ocupa, PCC, tiene CUATRO soluciones en su forma general. Vamos a describir los pasos para resolverlo.

APOLONIO Pcc

1. Planteamos la inversión. Tomamos como centro de inversión el punto P.

Suponemos una inversión en el plano con centro P para transformar una de las circunferencias en su inversa. De esta manera podremos trazar las tangentes a las nuevas circunferencias y al deshacer la inversión obtendremos las circunferencias tangentes que buscamos.

2. Hallamos el punto T de tangencia en C1 respecto a P.

Para ello trazamos la tangente a la primera de las circunferencias (C1) empleando el arco capaz de 90º de P a O1 y en la intersección encontramos el punto de tangencia T.

3. Hallamos la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión.

Si observamos el dibujo vemos que PT es el radio de la circunferencia de autoinversión (C.P.D.). Además podemos comprobar que los puntos cualquiera A y B de la circunferencia tienen sus inversos A´ y B´ en la misma circunferencia.

5. Hallamos la inversa de la otra circunferencia.

En este punto recordemos la teoria de inversión: "una circunferencia que no pasa por el centro de inversión tiene como inversa otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de la inversión". Luego la figura inversa de la circunferencia C2 será otra circunferencia. Para hallar la circunferencia inversa recurrimos a los puntos M y N de los extremos del diámetro y obtenemos los puntos inversos M´y N´.

Una vez tenemos los puntos  M´y N´ en el punto medio encontraremos el centro de la circunferencia C2´, el punto O3.

IMPORTANTE: el centro de C2´ no coincide con el inverso de O2, por eso empleamos el punto medio de los inversos del diámetro.

6. Hallamos las tangentes a las circunferencias inversas C_1=C_1' y C_2'.

Tenemos que hallar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias, en este caso a las circunferencias C1 y a la inversa de C2 la circunferencia  C2´. Para no complicar el dibujo añadiré únicamente las tangentes sin su construcción.

En el Blog ya hemos explicado como trazar tangentes a dos circunferencias de manera rápida (puedes consultarlo pulsando aquí).

7. Las inversas de las tangentes serán las circunferencias solución.

Ahora debemos dibujar las figuras inversas a las rectas tangentes que hemos hallado anteriormente. Como las rectas tangentes no pasan por el centro de inversión se transformarán en circunferencias que pasan por P, centro de la inversión, manteniendo la condición de tangencia a las circunferencias C1 y C2.

La manera más sencilla de encontrar los centros de las nuevas circunferencias es hallando los  inversos de los puntos de tangencia. Estos puntos deben estar alineados con centro de la inversión P. Una vez hallados los puntos de tangencia de las circunferencias solución los uniremos, mediante una recta, con los centros de las circunferencias O1 y O2. En  las intersecciones de estas rectas encontraremos los centros de las circunferencias inversas.

En la siguiente imagen se muestra como hallar uno de los centros.

En la siguiente imagen se ha dibujado la solución final con las cuatro tangentes en un color diferente para identificar mejor su circunferencia inversa.

Puedes consultar otros problemas de Apolonio realizados en el Blog en la lista del índice del apartado de Dibujo Técnico (aquí).

APOLONIO CRR, método por homotecia

Continuando con los problemas de Apolonio, en esta ocasión vamos a resolver el caso de las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y a una circunferencia interior a estas rectas. Es el caso CRR. Lo vamos resolver por homotecia utilizando la dilatación del punto para convertirlo en el caso anterior (PRR).

También puedes ver los demás problemas de Apolonio en el índice del apartado de Dibujo del blog (o pulsando aquí).

Para resolver este problema utilizaremos el procedimiento de DILATACIÓN de la circunferencia, sumando y restando el radio a las rectas y así convertiremos la circunferencia en un punto.

Lo primero que debemos saber es que las soluciones se encontrarán en la bisectriz de la rectas y serán tangentes a la circunferencia. Este problema tiene CUATRO soluciones en el caso de que la circunferencia sea interior a las rectas y OCHO considerando otras posiciones de la circunferencia (que corte a una recta). Veamos el procedimiento por pasos.

1.  Trazamos paralelas a las rectas, con distancia igual al radio de la circunferencia.

2. Trazamos la bisectriz de las rectas. Esta recta será el lugar geométrico donde se situarán los centros de las circunferencias que buscamos.

3. Trazamos una primera circunferencia auxiliar. Esta circunferencia tendrá el centro en la bisectriz y será tangente a las paralelas interiores.

4. Hallamos los puntos de corte en la circunferencia auxiliar con la recta que une el primer centro de homología (punto B) con el centro de la circunferencia que nos han dado (punto O).

5. Hallamos los segmentos que unen los puntos de corte con el centro de la circunferencia auxiliar.  A continuación trazamos paralelas por el centro O para determinar los centros de las circunferencias que buscamos en la bisectriz. 

6. Trazamos las dos primeras circunferencias con centros en C1 y C2 radio hasta los puntos de tangencia T1 y T2. Estos puntos se encontrarán en la perpendicular a una de las rectas dadas y desde los centros C1 y C2 respectivamente. 

Ya tenemos las primeras dos circunferencias (dibujadas en rojo) ahora repetimos el proceso para hallar las otras dos circunferencias. En esta ocasión debemos elegir otra circunferencia auxiliar con radio hasta las paralelas más exteriores.

7. Trazamos la nueva circunferencia auxiliar. 

8. Trazamos la nueva recta de corte, desde el punto A y que por el centro de la circunferencia. Hallamos también los nuevos puntos de corte con la nueva circunferencia auxiliar.

9. Trazamos los segmentos paralelos. Desde los puntos de corte con la circunferencia auxiliar hasta el centro de la auxiliar y desde O hasta la bisectriz.

10. Trazamos las otras dos circunferencias buscadas. Con centro en C3 y C4 y radios hasta T3 y T4 respectivamente.

Solución en Geogebra

A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.

APOLONIO CRR

En esta ocasión vamos a explicar el problema de Apolonio (crr) para trazar las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y una circunferencia. Este problema tiene CUATRO soluciones en el caso de que la circunferencia sea interior a las rectas y OCHO considerando otras posiciones de la circunferencia (que corte a una recta).

En esta ocasión lo haremos aplicando los conceptos de POTENCIA. En otra entrada veremos que podemos realizar este problema mediante homotecia.

También puedes ver los demás problemas de Apolonio en el índice del apartado de Dibujo del blog (o pulsando aquí).

Para resolver el problema utilizaremos el procedimiento de DILATACIÓN de la circunferencia, sumando y restando el radio a las rectas y así convertiremos la circunferencia en un punto.

Lo primero que debemos saber es que las soluciones se encontrarán en la bisectriz de la rectas y serán tangentes a la circunferencia. Encontraremos dos tipos de soluciones que precisarán de dos construcciones gráficas (circunferencias de soluciones exteriores e interiores).

 Solución del problema de Apolonio CRR aplicando la potencia

1. Trazar la bisectriz de las dos rectas.
2. Trazar dos rectas paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia.
3. Trazar una circunferencia auxiliar con centro en la bisectriz y radio hasta el centro de la circunferencia dada.

4. Hallar el centro radical.

Trazamos la perpendicular a la bisectriz por el centro de la circunferencia, en la intersección de la perpendicular con la recta paralela más alejada (suma del radio) encontraremos el centro radical (M).

5. Hallar el punto de tangencia desde el centro radical a la circunferencia auxiliar.

Trazando el arco capaz de 90º entre el centro de la circunferencia auxiliar y el centro radical (M) en la intersección hallaremos el punto de tangencia (T). Punto con igual potencia a las circunferencias que buscamos.

6. Trasladar el punto de tangencia a la recta.

En las perpendiculares de los puntos de tangencia hallaremos los centros de las circunferencias buscadas, puntos O1 y O2. Las dos primeras circunferencias de la solución tendrán sus radios desde los centros C1 y C2 hasta la perpendicular a la recta dada y serán tangentes a la circunferencia de nuestro enunciado.

A continuación hallaremos las otras dos circunferencias de la solución. Para ello repetiremos el procedimiento pero esta vez sobre la recta paralela interior (diferencia del radio).

7. Hallamos el otro centro radical (N) sobre la recta paralela interior.

8. Hallamos el nuevo punto de tangencia. Trazamos el arco capaz de 90º entre el punto N y el O de la circunferencia auxiliar.

9. Trasladamos el punto de tangencia sobre la recta paralela y perpendicularmente sobre la recta original. Obtenemos los puntos T3 y T4. Puntos de tangencia de las nuevas circunferencias de la solución.

10. Trazamos las dos circunferencias con centros en O3 y O4 y radios hasta los respectivos puntos de tangencia T3 y T4.

Las cuatro soluciones buscadas quedarían así:

Solución en Geogebra

A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.

APOLONIO Prr (por homotecia)

Vamos a resolver un problema de Apolonio que vimos anteriormente. En su momento lo realizamos aplicando los conceptos de potencia, en esta ocasión lo haremos utilizando los conceptos de homotecia.

El problema consiste en hallar las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y que pasan por un punto dado (es el caso PRR de Apolonio).

Lo haremos aplicando los conceptos de HOMOTECIA. En otra entrada de este blog lo explicamos utilizando la pontencia a un punto, lo puedes ver pulsando aquí.

También puedes ver los demás problemas de Apolonio en el índice del apartado de Dibujo del blog (o pulsando aquí).

Para resolver este problema de Apolonio lo primero que debemos conocer es que las DOS circunferencias de la solución tendrán sus centros en la bisectriz de las rectas y lógicamente pasarán por el punto dado. A continuación los pasos para resolver este problema.

Solución del problema de Apolonio PRR aplicando la homotecia

1. Trazar la bisectriz de las dos rectas.

2. Trazar la recta que une el centro de la homotecia y pasa por el punto P.

3. Trazar una circunferencia auxiliar, del haz de soluciones, con centro en la bisectriz.

4. Hallar los puntos de intersección (M y N) de la circunferencia con la recta que pasa por P.

5. Unir los puntos M y N con el centro de la circunferencia auxiliar y trazar paralelas por P.

Al trazar paralelas por P a los segmentos que unen O-N y O-M, en los puntos de intersección con la bisectriz de estas paralelas, encontraremos los centros de las circunferencias buscadas (C1 y C2).

Podemos trazar la perpendicular desde el centro a las rectas para conocer el punto de tangencia y comprobar que las circunferencias pasarán por el punto el dado P.

Solución en Geogebra

A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.