Apolonio Prr

El siguiente problema de Apolonio consiste en hallar las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y que pasan por un punto dado (caso PRR).

En esta ocasión lo haremos aplicando los conceptos de POTENCIA y en otra entrada veremos que podemos realizar el problema mediante homotecia (pulsa aquí para verlo por homotecia).

También puedes ver los demás problemas de Apolonio en el índice del apartado de Dibujo del blog (o pulsando aquí).

Para resolver este caso lo primero que debemos saber es que las DOS circunferencias de la solución tendrán sus centros en la bisectriz de las rectas. Los pasos para resolver este problema son los siguientes:

Solución del problema de Apolonio PRR aplicando la potencia

1. Trazar la bisectriz de las dos rectas.

2. Hallar el centro radical.

Al trazar la perpendicular a la bisectriz por el punto dado, en la intersección de la perpendicular con las rectas encontraremos el centro radical.

3. Trazar una circunferencia auxiliar del haz de soluciones, que pase por P.

Esta circunferencia tendrá su centro en la bisectriz, en la perpendicular a P y pasará por el punto.

4. Hallar la tangente desde el centro radical a la circunferencia auxiliar y abatir el punto de tangencia sobre la recta.

Para este paso trazaremos el arco capaz de 90º entre el centro radical y el centro de la circunferencia auxiliar. En la intersección encontraremos el punto de tangencia. Este punto, con radio desde el centro radical al punto de tangencia, lo llevamos sobre la recta. Hallamos así dos puntos con igual potencia sobre la recta, que son los puntos de tangencia de las circunferencias de la solución con la recta.

5. Por último hallamos los centros de las circunferencias solución.

Los centros se encontrarán en la perpendicular a la recta y trazados desde por los puntos de tangencia que acabamos de hallar. Dichos centros, como dijimos al principio, estarán en la bisectriz de las dos rectas dadas. A su vez las dos circunferencias de la solución pasarán por P y su simétrico Ps.

Solución en Geogebra.

A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.