Polígonos regulares, pentágono y decágono

La construcción exacta de un pentágono y un decágono regulares (polígonos de 5 y 10 lados) es una de las construcciones geométricas que debemos conocer.

Para construir un pentágono regular con regla y compás comenzaremos por trazar una circunferencia y dos diámetros perpendiculares. En nuestro ejemplo son los ejes A-B y D-E. A continuación con centro en uno de los extremos (A) y radio el de la circunferencia, trazaremos un arco que corte a la circunferencia en dos puntos (G y H).

Si unimos los puntos de corte que hemos hallado, G y H, obtenemos una cuerda de la circunferencia y un punto de intersección sobre el eje A-B: el punto I. 

Ahora con centro en el punto I trazamos un segundo arco de radio ID. Este arco volverá a cortar al eje A-B en un nuevo punto: K.

• La distancia desde D hasta K es el lado del pentágono.
• La distancia desde O hasta K es lado del decágono.

Para terminar de dibujar el pentágono trasladamos el punto K sobre la circunferencia. Si tomamos como centro el punto D y con radio DK trazamos un arco, el punto de corte M con la circunferencia define el primer lado del pentágono. Seguidamente con el compás trasladaremos los demás lados sobre la circunferencia para completar el pentágono.

Acabamos de completar la construcción de un pentágono inscrito en una circunferencia. En el caso de que tuviéramos el lado del pentágono y quisiéramos realizar un pentágono regular, la construcción es la siguiente.

Dibujar un pentágono conociendo el lado.

Dado un segmento AB si queremos dibujar un pentágono de lado el segmento, el primer paso es levantar una perpendicular por B con la longitud AB. Obtenemos así el punto C.

A continuación hallamos el punto M, punto medio de BC, y trazamos una circunferencia con centro en M y radio la mitad del lado. En la prolongación de la recta de AM y la intersección con la circunferencia hallamos el punto D.

Por último trazamos un arco desde A, con radio AD. En la intersección de los arcos BC y AD hallamos el punto G, tercer vértice del pentágono.

Teniendo dos lados ya podemos completar el pentágono según hemos visto al principio.