sábado, 30 de diciembre de 2017

Curvas técnicas: el ovoide

Dentro del conjunto de las curvas planas están las curvas técnicas y, entre ellas, el ovoide. El ovoide es un tipo de curva plana cerrada, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dos desiguales. Además esta curva tiene un solo eje de simetría.

Construcción de un ovoide conociendo su eje menor

Si tenemos el eje menor CD de un ovoide, la construcción para completar la curva es la siguiente.

1. Trazamos la circunferencia de centro O y diámetro CD. A continuación trazamos la mediatriz del segmento CD y en la intersección con la circunferencia hallamos el punto O1.

2. Desde C y D trazamos las dos semirrectas que pasan por O1.


 3. A continuación con centro en los extremos C y D y radio la distancia CD trazamos dos arcos que corten a las semirrectas, en la intersección hallamos los puntos E y F.

 4. Por último trazamos los cuatro arcos de circunferencia para completar el ovoide.
  • Arco de circunferencia con centro en O y radio OC.
  • Arco de circunferencia con centro en C y radio CD.
  • Arco de circunferencia con centro en D y radio CD.
  • Arco de circunferencia con centro en O1 y radio O1E.



Construcción de un ovoide conociendo su eje mayor

Si en vez del eje menor tenemos el eje mayor AB de un ovoide, ahora la construcción para completar la curva es de la siguiente manera.

1. Dividimos el eje mayor en seis partes iguales, con el Teorema de Tales. De esta manera en la segunda división (P2) tenemos el primer centro, el punto O1, y en la quinta (P5) el centro O2. En la intersección del arco de circunferencia de centro O1 y radio O1B con la recta perpendicular al eje por O1 encontramos los otros dos centros O3 y O4.

Recuerda:
  • P2 = centro O1
  • P5 = centro O2
  • Perpendicular por P2 con circunferencia O1B = C3 y C4

2. A continuación hallamos el eje menor, puntos C y D. Para ello trazamos la circunferencia con centro O1 y radio O1A. En la intersección con la perpendicular por P2 tenemos los puntos C y D.


3. Por un lado unimos con una semirrecta los puntos O3 y O2 y por otro los puntos O4 y O2. Desde O3 trazamos un arco de circunferencia con radio O3C que corta a la semirrecta en el punto E. Repetimos el proceso con un arco desde O4 y radio O4D y hallamos el punto F en la otra semirrecta.

4. Por último trazamos los cuatro arcos del OVOIDE.
  • Arco de circunferencia con centro en O1 y radio O1A.
  • Arco de circunferencia con centro en O2 y radio O2B.
  • Arco de circunferencia con centro en O3 y radio O3C.
  • Arco de circunferencia con centro en O4 y radio O4D.


Construcción de un ovoide conociendo sus ejes

Si conocemos los dos ejes de un ovoide la construcción es algo más complicada por el número de pasos pero igualmente sencilla, es de la siguiente manera.

1. Primero dispondremos la posición de los ejes AB y CD. Para ello trazamos una circunferencia a la distancia la mitad del eje menor sobre el eje mayor AB. En la perpendicular por el centro (O) situamos los puntos extremos C y D. Así el extremo más estrecho del ovoide se situará en la zona del punto B.


2. Hallamos el punto simétrico de A respecto al eje CD, el punto X. Éste punto estará determinado por la circunferencia  en su intersección con el eje AB y nos servirá para trazar una nueva circunferencia con centro en X y radio XB.

3. Tomando como centro uno de los extremos del eje menor (D), trazamos otra circunferencia con el mismo radio que la anterior (XB). Esto nos permite determinar un punto de corte en el eje menor CD que llamaremos Y.




4. Una vez hallados los puntos X e Y trazamos la mediatriz del segmento XY.  La mediatriz volverá a cortar al eje menor en otro punto, el centro O1 del ovoide. Con centro en O y radio O-O1 trazamos otra circunferencia para hallar su simétrico, el centro O2 del ovoide.



5. Trazamos dos semirrectas desde O1 y O2 que cortarán a la circunferencia con centro en X y radio X-B en los puntos P1 y P2. Puntos de encuentro de los arcos de circunferencia que definen el ovoide.

6. Por último trazamos los cuatro arcos que definen la curva cerrada del ovoide.
  • Trazamos el arco de circunferencia con centro en O1 y radio O1D.
  • Trazamos el arco de circunferencia con centro en O2 y radio O2C.
  • Trazamos el arco de circunferencia con centro en O y radio OA.
  • Trazamos el arco de circunferencia con centro en X y radio XP1. 







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