Introducción al Sistema Diédrico

En esta entrada del Blog vamos a realizar una introducción al Sistema Diédrico. Trataremos diversos aspectos de este sistema: su utilidad, qué representamos con este sistema y cómo lo hacemos, por qué es el sistema más operativo  o qué es el sistema libre.

Actualmente podemos encontrar numerosos recursos (vídeos, libros o aplicaciones informáticas) donde consultar las características de este sistema de representación. Personalmente me ha gustado un recurso muy elaborado por José Antonio Cuadrado, lo podéis consultar pulsando aquí

Sin embargo, en esta ocasión, vamos a intentar explicar este sistema de representación partiendo de diferentes objetos y procurando que sea el lector quien vaya descubriendo cómo representarlos en Diédrico.

El sistema diédrico fue desarrollado por Gaspard Monge en el S. XVIII (aquí tenéis el enlace a su biografía: Gaspard_Monge) y con él se pueden representar  los diferentes elementos tridimensionales de manera bidimensional. En este sistema de representación se recurre a un sistema de planos ortogonales, llamados planos proyectantes, para representar los objetos. Estos planos, una vez abatidos, nos proporcionan una representación fidedigna del objeto tridimensional en un plano.

"Creo que podemos decir que el sistema diédrico nos sirve para representar elementos tridimensionales en un espacio bidimensional de una manera sencilla y coherente".

Para desarrollar esta definición vamos a comenzar por introducir algunos objetos en tres dimensiones dentro del Blog. Una manera cómoda de hacerlo, sin necesidad de programar, es enlazar un "iframe". Y una buena idea si quieres  objetos 3D en tu Web es insertarlos desde 3D Warehouse. A continuación se muestran algunos ejemplos que he seleccionado. Puedes interactuar con los objetos rotándolos o aumentándolos en la pantalla de tu ordenador.

Hoy en día, si disponemos de un ordenador, es relativamente asequible hacerse una idea de cómo es un objeto tridimensional. Me refiero a uno que, por ejemplo, hemos diseñado y se lo queremos mostrar a otra persona. Sin embargo, si queremos conocer las dimensiones reales de ese objeto no podemos medir directamente sobre su perspectiva. Para hacer esto necesitamos representar nuestro objeto mediante un sistema de proyección adecuado, por ejemplo una proyección cilíndrica ortogonal.

Pero, ¿qué es eso de una proyección cilíndrica ortogonal? A continuación tenéis un vídeo de unos artistas que fueron a un programa de talentos de la televisión británica. Se trata de una actuación de "sombras chinescas":

Una vez visto el vídeo, vamos a continuar. Como decía, para poder medir en un papel necesitamos que el objeto representado esté a una escala determinada y proporcionado a las dimensiones del objeto real. Con las sombras chinescas no ocurre esto, aquí los artistas juegan con la distancia y el foco de luz para dar diferentes formas a sus cuerpos, haciéndonos creer que son otros objetos totalmente diferentes. Por lo tanto, si queremos representar una pieza mecánica o un edificio y que aquello no se parezca a un edificio de Frank Gehry, debemos buscar un sistema de representación que conserve las proporciones de nuestro objeto. Esto es lo que hizo Monge, idear un sistema en que la representación fuera consecuente y proporcionada con el objeto representado.

Proyección cilíndrica

La proyección cilíndrica nos va a conservar la razón simple. Esto quiere decir que si proyectamos, por ejemplo, un segmento sobre un plano las partes en que pudieramos dividir ese segmento serán también proporcionales en su proyección. De esta manera si cogemos el punto medio del segmento y lo proyectamos, ese punto en su proyección también será el punto medio de la forma proyectada. Lo podemos comprobar con la siguiente figura.

La proyección cilíndrica conserva las proporciones de lo representado en el plano proyectante. Si además el objeto está en un plano paralelo a uno de los planos de proyección, nos va a permitir medir esas dimensiones del objeto en verdadera magnitud, tal y como son.

De esta manera, vemos que en la figura anterior el segmento proyectado sobre el plano vertical tiene las mismas dimensiones que el situado en el espacio. Además en la figura ambas proyecciones, horizontal y vertical, mantienen las proporciones. Sin embargo el segmento se encontraba paralelo al plano de proyección vertical y, cuando esto ocurre, entonces podemos medir en verdadera magnitud sobre el plano de proyección. Igual que lo haríamos en el espacio si cogiésemos un metro y midiéramos. Es lo que llamamos una proyección cilíndrica ortogonal (perpendicular).

Ahora que ya conocéis las reglas del juego:

•  Los planos de proyección son perpendiculares entre sí.
•  Para medir tengo que poner el objeto paralelo a uno de los planos de proyección. 

Esto, aunque no os lo creais, es el Sistema Diédrico.

A continuación vamos a ir un poco más deprisa y os mostraré como se representan los diferentes objetos del espacio sobre esos planos de proyección. Lo primero que hay que hacer es imaginarse que prolongamos los planos de la figura anterior, de esta manera el espacio nos queda dividido en cuatro zonas, llamadas cuadrantes.

La última imagen me ha quedado un poco extraña  (parece una nave de "Star Wars") pero se entiende. Tenemos cuatro cuadrantes en el espacio. Si ahora proyectamos los diferentes puntos del espacio sobre esos planos y luego abatimos el plano horizontal sobre el plano vertical, como en una hoja de papel, podremos representar los diferentes elementos geométricos del espacio.

Representación de un punto en Diédrico

La siguiente imagen nos muestra cómo se representan los puntos en este sistema y en los diferentes cuadrantes. Vemos como los puntos del espacio quedan representados al girar, abatir, el plano horizontal sobre el vertical de proyección.

(Las siguientes imágenes han sido creadas a partir de un recurso elaborado por la Web "educaciónplástica.net", puedes consultarla aquí. Es una Web muy útil, sobre todo si vas a ser profesor de Secundaria).

Si nos fijamos en la figura la altura sobre el plano horizontal se denomina cota, mientras que la distancia al plano vertical lo llamamos alejamiento. A su vez los puntos proyectados tienen un convenio, generalmente se indica con un dos (2) la proyección sobre el plano vertical y con un uno (1) la proyección sobre el plano proyectante horizontal. Pero también se puede representar mediante "primas": apóstrofos o tildes sobre las letras.

Representación de una recta en Diédrico

Vamos ahora a representar las rectas en sus posiciones más destacadas. A un lado hay una represención en perspectiva y al otro lado se muestra la recta abatida sobre los planos de proyección. Comenzamos.

Representación de un plano en Diédrico

 

Una vez conocidas las representaciones de las rectas nos fijamos en la representación de un plano. Cuando un plano del espacio corta a los planos de proyección lo hace mediante una recta, a estas rectas de corte se las denomina las trazas del plano. 

Aprender a representar un plano en diédrico nos facilitará posteriormente realizar secciones de diferentes objetos. Veamos como se representan algunos planos característicos.

Como podemos observar para definir un plano que contiene a la línea de tierra nos hace falta otro dato que nos defina su inclinación, para ello recurrimos a representar un punto contenido en el plano.

La línea de tierra

En este punto quiero referirme al concepto de "línea de tierra". Hasta el momento hemos representado los diferentes elementos diferenciando aquellos que se encuentran en el plano superior y en el inferior, y quedaban separados por una línea horizontal. Esta se denomina "línea de tierra". Y se trata del eje o charlena de abatimiento de los planos.

La línea de tierra nos ha servido como referencia para situar el punto o la recta a una determinada distancia de los planos de proyección. Pero nosotros podríamos elegir esa distancia al plano de proyección y, el objeto que queremos representar seguiría siendo el mismo. Luego podemos concluir que la distancia a la línea de tierra la elegimos libremente, en función de la distancia que queremos dejar a los planos de proyección.

En consecuencia cuando representamos un objeto o un edificio mediante un alzado y una planta  prescindimos de dibujar un línea de tierra: sabemos que hemos realizado un giro al representar ambos dibujos y que estos son proyecciones en planos diferentes, pero no necesitamos marcar una distancia al eje o charnela de abatimiento. Esta forma de representar el dibujo, es lo que en algunos libros denominan como sistema libre de representación.

Un ejemplo del empleo del sistema libre es la representación de los planos una vivienda. En la imagen siguiente no existe  la línea de tierra, no está dibujada. Tampoco se dibuja en ningún plano arquitectónico, porque no es necesaria su utilización y duplica información.
En la imagen siguiente se puede interpretar fácilmente que la parte superior corresponde a una representación sobre el plano vertical de proyección, mientras que la inferior lo es de una proyección sobre el plano horizontal.

Por lo dicho, cuando empleamos un sistema de representación en el diseño, por ejemplo de un edifico, nostros elegiremos el lugar que nos va a convenir para realizar ese abatimiento. Y la línea de tierra será una, por decirlo así, línea "imaginaria".


Comentado lo anterior y dado que en la imagen superior tenemos representadas "dos" secciones (una planta secionada y un alzado seccionado) continuaré explicando la intersección de los elementos geométricos elementales.

Intersección de elementos geométricos en Diédrico

 

Una vez hemos aprendido a proyectar elementos geométricos por separado, rectas y puntos, ahora deberiamos conocer como se realiza la intersección de estos elementos. Es el caso de la intersección de dos rectas, que tendrán un punto en común, y de dos planos que tendrán una recta por intersección. Veamos estos casos.

Ahora la pregunta sería si nos hace falta representar una línea de tierra. Si observamos la figura podríamos concluir que es un elemento de referencia pero duplicado. Pues no es necesaria dibujarla y a medida que tengamos mayor destreza en el manejo de este sistema de representación la iremos eliminando.

Por último vamos a concluir representando la intersección de dos planos oblicuos.

INVERSIÓN EN EL PLANO

Definición

La inversión de un punto A respecto a una circunferencia de centro I, es el único punto A’ de la recta que forman I y A donde se cumple que IA • IA’ = r·r. Siendo r el radio de la circunferencia.

La inversión es una transformación que no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras. Sin embargo la inversión es una transformación  que conserva las relaciones angulares. 

Al igual que ocurre con las homotecias la inversión es una transformación con centro donde un punto y su transformado se encuentran alineados con el centro de inversión. Si llamamos I al centro de inversión y  P a un punto y P’ a su inverso, el producto de las distancias de estos puntos al centro de inversión es constante y se denomina potencia de inversión (W).

IP • IP’ = K • K = W = cte

Cuando un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión decimos que la inversión es positiva. En cambio cuando el centro de inversión se encuentra entre un punto y su transformado decimos que la inversión es negativa.

La diferencia entre potencia e inversión consiste en que mientras la potencia es la relación entre un punto y una circunferencia, la inversión es una transformación que se puede aplicar a todos los puntos del plano.

Circunferencia de autoinversión

Si la potencia de inversión es positiva, los puntos que se encuentran a distancia K del centro son dobles. La circunferencia de radio la raíz de la potencia (W), esto es de valor K, es una circunferencia de puntos dobles (c.p.d) denominada circunferencia de autoinversión.

Si la potencia de inversión es negativa, la circunferencia de autoinversión es doble pero sus puntos no son dobles.

Es importante conocer que  dos puntos y sus inversos son concíclicos, o lo que es lo mismo que decir que los puntos se sitúan en una circunferencia. Este hecho es importante porque nos permitirá resolver diversos problemas relacionados con la inversión.

Rectas antiparalelas

Por otra parte, las rectas que unen dos puntos (A y B) y las que unen sus inversos (A’ y B’)  son antiparalelas: dos a dos forman el mismo ángulo.

Por el teorema de Tales sabemos que al cortar dos rectas a y b concurrentes en un punto I, por otras dos rectas r y s, se obtienen dos triángulos semejantes (IAB - IA’B’) de forma tal que IA/IB=IB’/IA’. En forma de producto resultaría así:

IA•IA’= IB•IB’

Por lo tanto, cuando dos rectas concurrentes en I (a y b) son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas (r y s)  en puntos inversos de una inversión de centro I, obtenemos una pareja de triángulos semejantes.
(Recordemos que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales).

Inversa de una recta

Con la inversión de una recta tenemos dos casos:

a) Si una recta pasa por el centro de inversión la figura inversa de esta es la misma recta.

b) Si una recta no pasa por el centro de inversión su figura inversa es una circunferencia, que pasa por el centro de la inversión, cuyo centro se halla en la perpendicular trazada desde el centro de inversión a la recta.

Inversa de una circunferencia.

a) Cuando la circunferencia pasa por el centro de inversión.

Antes hemos dicho que si invertimos una recta que no pasa por el centro de inversión el lugar geométrico inverso es una circunferencia que si pasa por el centro de inversión. Al ser la inversión una transformación reciproca, es decir, si el inverso de un punto A es A’ y el inverso de A’ es A, podemos decir que si invertimos una circunferencia que pasa por el centro de inversión el resultado será una recta que no pasa por él. Vamos a deducirlo.

Efectivamente si tenemos un punto M y el centro de una inversión (punto I) el ángulo en M inscrito en una semicircunferencia es recto (esto es, es un arco capaz de 90º). Si a continuación invertimos un segundo punto N, el segmento N’M’ debe formar un ángulo recto con la recta N’N (ángulos en rectas antiparalelas). Al repetir esta operación para los infinitos puntos de la circunferencia obtenemos la recta inversa.

Como dos puntos y sus inversos son concíclicos, las rectas que unen dos puntos y las que unen sus inversos son antiparalelas de las rectas que unen cada punto con su inverso (dos a dos forman el mismo ángulo). Por lo tanto, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa él. Y la dirección de dicha recta será perpendicular al diámetro que contiene el centro de inversión.


b) Cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión.

¿Qué ocurre cuando la circunferencia no pasa por el centro de inversión? En este caso nos ayudaremos de la siguiente figura. Veremos que si definimos una inversión mediante la circunferencia de autoinversión (c.p.d.) de centro O, y la circunferencia que queremos invertir, de centro C, tiene los puntos A y B como extremos del diámetro definido por la recta que une ambas circunferencias. Entonces ocurre lo siguiente:

1. El centro O1 de la circunferencia inversa de la dada estará en la recta que une los centros O y C. Si desde A trazamos la tangente A-TA a la circunferencia de autoinversión y desde TA la perpendicular a CO, entonces determinamos el punto A’, inverso del A.
2. Si desde B trazamos la tangente B-TB a la circunferencia de autoinversión y desde TB la perpendicular a CO, ahora determinamos el punto B’, inverso del B.
3. A continuación determinamos la mediatriz de A’B’, y la intersección con la recta que contiene los centros nos determinará el punto O1, centro de la circunferencia inversa de la dada, que tiene por radio O1-A’= O1-B = radio
4. Por último decir que las circunferencias de centros C y O1 son inversas y homotéticas a la vez, siendo el punto O el centro de ambas transformaciones: el centro de inversión, O = I. Es decir:  OA x OA’= OB x OB’= W.  Siendo W la potencia de inversión.

Destacar además que el inverso del centro C, el punto C’, no es el centro de la circunferencia invertida. El centro O1 se halla en la mediatriz de A’ y B’

Por lo tanto, la inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, siendo el centro de inversión (O=I) el centro de homotecia que las relaciona.

Propiedades de la inversión

Las imágenes en una inversión mantienen algunas propiedades entre sí, aunque pierden otras.
La inversión mantiene:

1. Ángulos entre curvas
2. Puntos de intersección entre curvas
3. Puntos de tangencia entre curvas

Además, dado que la imagen de una circunferencia es otra circunferencia, y se mantienen los puntos de intersección, la imagen de una figura cíclica es también cíclica.
La inversión no mantiene:

1. Ni la forma
2. Ni el tamaño

Formas de determinar una inversión

En general para realizar un ejercicio de inversión deberemos conocer los siguientes datos:

1. La circunferencia de puntos dobles (autoinversión).
2. El centro de la inversión y un par de puntos inversos.
3. El centro de la inversión y la circunferencia de autoinversión.

INVERSIÓN Solución ejercicio 1

Enunciado del ejercicio de inversión planteado aquí.
A continuación explicamos la solución por pasos del Ejercicio 1 de INVERSIÓN.

Paso 1. Calcular el radio de la circunferencia de autoinversión.

Para calcular el radio de la circunferencia de autoinversión (segmento IK) determinamos geométricamente la raíz cuadrada del producto IA·IA'. Esto es, sabemos que el producto de IA·IA' = r·r = cte. Por tanto buscamos "r", la raíz de esa constante. La construcción es la misma que haríamos para hallar un cuadrado, de lado "r", con igual superficie que el rectángulo IA por IA'.

La raíz cuadrada que buscamos se halla gráficamente en la perpendicular de I hasta el arco capaz de 90º, el radio es el segmento IK.

Paso 2.  Dibujar la circunferencia de puntos dobles o autoinversión.

Con radio IK y centro en I (centro de la inversión) determinamos la circunferencia de autoinversión. Podemos observar además que la potencia de inversión es positiva, el punto A y su transformado se encuentran al mismo lado respecto al centro de inversión.

Paso 3. Hallar el inverso del punto B.

Esta operación la podemos realizar de diferentes maneras, pero hay una que resulta inmediata. Si nos fijamos tenemos ya tres puntos, uno es A, otro su inverso A' y también B o C.
Si recordamos que una de las propiedades de la inversión es que dos puntos y sus inversos son concíclicos (están en la misma circunferencia), simplemente con trazar la circunferencia definida por A, A' y B podremos obtener B'. ¿Dónde está  B'? Pues en la intersección de la circunferencia con la recta que determinan I  y B.

Paso 4. Hallamos los inversos de los lados AB y el segmento BA'.

El lado AB, su inverso, ya lo tenemos al conocer los inversos A' (dato) y B' que hemos hallado. Para determinar el arco que define este lado podemos considerar un tercer punto de la circunferencia de puntos dobles, concretamente el que tiene su intersección con el segmento AB y la circunferencia de  autoinversión (cpd) que sabemos que es inverso de si mismo. Con los tres puntos hallamos el centro del arco con dos mediatrices y tenemos el lado recto transformado por inversión en el lado curvo B'A'.

Recordemos en este punto que el inverso de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Paso 5. Calcular el inverso de C.

Calcular el inverso de C es inmediato puesto que las condiciones del problema nos determinaban que el triángulo es isósceles y el punto de inversión A' estaba en la perpendicular de BC con IA. Por lo tanto, el resto de nuestra figura va a ser simétrica respecto al eje que forma I-A-A'.

A continuación puedes ver la secuencia de la construcción de la figura pulsando el botón de avance en la barra inferior de navegación.

INVERSIÓN ejercicio 1

En esta ocasión realizaremos un ejercicio de inversión. Pero antes vamos a resumir los conceptos básicos de la inversión. (Puedes ver el tema completo de Inversión en el plano aquí ).

1. La inversión es una transformación con centro, donde el punto transformado está  alineado con el centro de inversión.
2. Se denomina potencia de inversión a la relación  dada por el producto de las distancias de puntos P y transformado P' al centro de inversión I. Esa relación es constante, esto es: IP·IP'=K·K=cte
3. Si la potencia de inversión es positiva, un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión. La circunferencia de autoinversión,  de radio la raíz de la potencia (K), es doble y de puntos dobles.
4. Si la potencia es negativa el centro de inversión se encuentra entre cada punto y su transformado. La circunferencia de autoinversión es doble pero no de puntos dobles.
5. Dos puntos y sus inversos son concíclicos. Las rectas que unen dos puntos y la que unen sus inversos son antiparalelas (dos a dos forman el mismo ángulo).

El ejercicio de inversión propuesto es el siguiente:

Dado un triángulo isósceles, el centro de inversión (I) y el inverso de A,  hallar el inverso del triángulo ABC.
El inverso del vértice (A) se encuentra en la intersección perpendicular de la recta IA con CB.

Pulsa aquí para ir a la solución del ejercicio 1 de inversión

Resolución parametrizada de un problema geométrico

Dadas dos circunferencias C₁ y C₂ (de igual radio), calcular la circunferencia C₃ de radio R₃ conocido, que forme el ángulo α con C₁ y ß con C₂, y estudiar las posibles soluciones.

El modelo de geogebra tiene que tener los siguientes elementos variables mediante un deslizador:

• Radio de C3, R3.
• Ángulo α entre C1 y C3.
• Ángulo ß entre C2 y C3.

Para comprobar las diferentes soluciones se pueden altenar los centros de las circunferencias O1 y O2, esto nos dará la posición de la circunferencia con centro O3 en la zona inferior.

Para comprobar como varía la circunferencia solución (rojo) cambie los ángulos con los deslizadores. También se puede variar el radio de la circunferencia solución.

DOS EJERCICIOS DE PAU

A continuación se resuelven dos ejercicios propuestos en las pruebas de acceso a la universidad PAU. Para ver su solución pulsa el botón de reproducir que aparece, abajo, en la aplicación Geogebra.

 
Ejercicio propuesto en selectividad en 2011.



Ejercicio propuesto en selectividad en 2014.

EJERCICIO: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CPR

El siguiente ejercicio fue propuesto en un examen de 1º de Bachillerato. Es un problema que se puede solucionar por diferentes métodos según nuestro nivel de conocimientos. Vamos a solucionarlo de varias formas y veremos que planteandolo como una inversión la solución es inmediata.

El enunciado solicita: obtener las circunferencias tangentes a una circunferencia de centro C, una recta tangente (r) y un punto de tangencia (T) según la figura adjunta.

Análisis del problema

Si examinamos el problema  nos daremos cuenta que hay dos circunferencias solución. Una a cada lado de la recta tangente (r) que comparten el punto tangente (T) y son interiores a la circunferencia dada. Además observamos que los centros de estas circunferencias se deben situar en la perpendicular a la recta (r) que pasa por el punto de tangencia (T). El problema consiste en determinar los centros de las circunferencias solución y los puntos de tangencia con la circunferencia dada.

Existen varias maneras de resolver este problema, una es por diferencia de radios, otra aplicando el concepto de inversión y también lo podemos hacer con una circunferencia auxiliar y hallando el centro radical.

Alternativamente podemos enfocar el problema percartandonos que el arco capaz de 90º que pasa por el punto T definirá los puntos de tangencia. Por tanto bastaría con unir los extremos del diámetro, paralelo a la recta que contiene los centros de las circunferencias buscadas, con el punto T para hallar los puntos de tangencia comunes en la circunferencia dada. Esto ocurre en aplicación directa del teorema de Tales.

Sin embargo el concepto que hay detrás la solución comentada es la inversión, que además es la manera más rápida de solucionarlo. Para ello debemos suponer que la recta dada se invierte en la circunferencia y viceversa.

Solución del problema

Como decíamos si planteamos una inversión la solución es inmediata. En esta solución la circunferencia de autoinversión (en rojo) quedaría definida por los puntos de corte de la recta con la circunferencia (puntos dobles) y tendría como centro cada extremo del diámetro perpendicular a la recta (centros de inversión). Vamos a detallar los pasos.

1. Determinamos los centros de inversión, en los extremos del diámetro perpendicular a la recta.
2. Unimos los centros de inversión con el punto de tangencia que nos dan, en la intersección con la circunferencia hallamos los puntos de tangencia que buscamos.
3. Al unir los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en la intersección con la perpendicular por T, encontramos los centros de las circunferencias solución.

 Otra manera de solucionar el ejercicio:

1. Trazamos una circunferencia auxiliar, una del haz de circunferencias de las soluciones. Esta auxiliar será tangente en T (pasará por T) y tendrá su centro en el eje perpendicular a T.
2. Hallamos el Centro Radical, intersección del eje radical que determina la auxiliar con la circunferencia dada y la recta. El centro radical, en este caso, estará en la recta dada.
3. Dibujamos la tangente a la circunferencia auxiliar desde el Centro Radical y lo llevamos a la circunferencia del enunciado. (Nótese que en este caso podemos utilizar directamente el punto T, sin hacer la tangente a la auxiliar.)
4. Determinamos los centros de las circunferencias tangentes interiores (O1 y O2) uniendo los puntos de tangencia con el centro (C).

Puedes comprobar aquí otra manera de entender la solución, desplaza el punto verde.

Potencia de un punto

La potencia es un concepto fundamental en la geometría métrica. Nos servirá, por ejemplo, para realizar tangentes a una circunferencia.

Si por un punto P exterior a una circunferencia de centro O  trazamos cualquier segmento desde P que corte a la circunferencia en dos puntos A, B, se cumplirá que PA·PB es constante, independientemente de la posición del segmento trazado. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P.

Puedes comprobar el concepto de potencia en la siguiente figura, realizada con Geogebra, y desplazar los puntos P o B para cambiar el tamaño de la figura.

Centro radical y circunferencia ortogonal

Ejercicio:

Dadas tres circunferencias obtener la circunferencia ortogonal y el centro radical.

Solución I.

Vamos a analizar la solución diferenciando el caso en que dos de las circunferencias se cortan (Caso I) y cuando las tres circunferencias son exteriores (Caso II).

En el primer caso propuesto dos de las circunferencias dadas se cortan. Este caso nos permite obtener uno de los ejes radicales directamente trazando dicho eje por los puntos de intersección (puntos de potencia cero).

Para obtener el segundo eje radical, en las circunferencias que no se cortan, procedemos  a dibujar una circunferencia auxiliar (en color azul) que nos dará dos rectas que se cortan en un punto. Desde ese punto trazaremos la recta perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias para obtener el segundo eje radical (en color rojo).

El punto de intersección de los ejes radicales será el centro radical (CR). Trazando la circunferencia de centro CR hasta los puntos de tangencia a las circunferencias dadas obtenemos la circunferencia ortogonal a las tres.

(Geogebra. Puedes desplazar los puntos C y B para cambiar el tamaño de la figura).

Solución II.

En el  siguiente caso las circunferencias no se cortan.

En este caso procedemos  a dibujar DOS circunferencias auxiliares, una para cada dos circunferencias con sus respectivas rectas uniendo los puntos de corte (en color azul).

Cada par de rectas  se cortan en un punto desde donde trazaremos la recta perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias para obtener los dos ejes radicales (en color rojo).

Una vez determinados los ejes radicales el punto de intersección de éstos será el centro radical (CR) y de la circunferencia ortogonal a las tres circunferencias dadas. Por último, para trazar dicha circunferencia, utilizamos el radio determinado desde CR hasta los puntos de tangencia de las tres circunferencias, que son los puntos con la misma potencia.


 (Geogebra. Puedes desplazar los puntos C y B para cambiar el tamaño de la figura).

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas.

EJE RADICAL es el lugar geométrico de los centros C de todas las circunferencias ortogonales a C1 y C2

Se cumplen las siguientes relaciones:
r1= r2 = R
d1² =  p1² + r1²
d2² = p2² + r2²
 
d1²- d2² = p1² - p2² = cte

Teorema de Tales

 El teorema de Tales, también escrito Thales, debe su nombre al matemático griego Tales de Mileto (S. VI a. C.). En realidad dicho teorema son dos teoremas intrínsecamente relacionados por la geometría clásica. Esto es, son dos teoremas fundamentales de la ciencia que estudia las figuras geométricas basadas en los elementos de Euclides.

Mientras que el primer teorema explica la forma de construir un triángulo semejante a otro existente, el segundo teorema hace referencia a una propiedad singular de los triángulos rectángulos: la ubicación del lugar geométrico llamado circuncentro.

El circuncentro en los triángulos rectángulos se encuentra siempre en el punto medio de la hipotenusa y resulta ser el punto del plano ─centro de la circunferencia─, que contiene a los tres vértices del triángulo. Estos teoremas se pueden expresar de la siguiente manera:

Teorema primero.

"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado".

Como se puede observar en la figura anterior los triángulos sombreados de vértices ABC y AFJ son semejantes.

Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. En el ejemplo se puede ver que dos lados homólogos son BC y FJ. A su vez son ángulos homólogos los  que forman los puntos ABC y los puntos AJF. Siendo en ambos casos ángulos rectos (90º).



Teorema segundo.

"Sea C un punto de la circunferencia de diámetro AB, distinto de A y de B. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo".

Como se puede observar en la figura anteriortodos los triángulos que podamos formar con cualquier punto de la circunferencia que recorre desde el punto A hasta el B, que tiene por radio la mitad del segmento AB, son triángulos rectángulos. Siendo el punto D el centro de la circunferencia, llamado circuncentro.

Mientras que en el primer teorema no era condición necesaria que el triángulo fuese rectángulo, en el segundo teorema se nos desvela una propiedad fundamental de la geometría: todos triángulos que cumplen con la condición de tener un vértice en la circunferencia de centro D son triángulos rectángulos.

Aplicación del primer caso.

Como se aprecia en la siguiente figura, se ha troceado el triángulo ABC de forma que la hipotenusa está dividida en cinco partes iguales de 2 unidades cada una.

Aplicando el primer teorema de Tales trazamos paralelas al tercer lado, el BC, por cada una de las divisiones para obtener los puntos L, K, J e I que determinan cinco segmentos de igual longitud.

Ahora podemos observar que se cumple la misma proporción entre la longitud de los distintos segmentos en el lado AC con las correspondientes al lado AB. De esta manera hemos conseguido dividir uno de los catetos del triángulo en partes iguales; únicamente conociendo las distancias entre puntos del lado opuesto.

Por tanto si tenemos dos segmentos que se cortan en un punto, podemos dividir el otro trazando paralelas a la recta que une los extremos de dichos segmentos.

         El resultado de la figura anterior, expresado en forma de fracción quedaría así:

La proporción de los segmentos en los que quedan divididos los lados son iguales. A la vez, podemos observar que los triángulos sombreados de la figura también son semejantes.

Tales de Mileto y la medición de la pirámide de Keops.

Uno de los episodios más conocidos del matemático griego Tales de Mileto fue la medición de la pirámide Keops. Para hacer esta proeza se sirvió únicamente de una cuerda.

Tales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho. Luego fijó los ojos en el borde extremo de su sombra hasta que esta tocó la circunferencia, es decir, cuando la longitud de la sombra fue igual a su estatura. Entonces dio orden a su ayudante para que midiera la sombra de la pirámide, porque en ese momento coincidiría con su altura. Así consiguió Tales conocer la altura de la pirámide.

Imagen de la pirámide de Keops

«Kheops-Pyramid» de Nina - Trabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY 2.5 vía Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kheops-Pyramid.jpg#/media/File:Kheops-Pyramid.jpg

Efectivamente lo que hizo Tales fue aplicar el teorema que lleva su nombre, en ese momento del día el triángulo que formaban él y su sombra era semejante al de la altura de la pirámide con su sombra.

 Aplicación del segundo caso.

El segundo teorema puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia dada, que además pasen por un punto A conocido y externo a la misma.

Si tenemos una circunferencia y queremos averiguar las tangentes a dicha circunferencia desde un punto exterior a la circunferencia, aplicamos la propiedad expresada en el segundo teorema de Tales.

En la figura superior se observa cómo se localizarían las tangentes a una circunferencia dada desde el punto A. Para ello hallamos la circunferencia desde A hasta el centro (C), con radio la mitad de AC.

Por el teorema de Tales sabemos que los segmentos que unan el centro de la circunferencia dada con un punto N de la nueva circunferencia serán perpendiculares al segmento formado por AN. De esta manera si el punto seleccionado N pertenece a su vez a ambas circunferencias tendremos, también, el punto de tangencia desde A.

Y con esta aplicación concluimos la explicación del teorema de Tales.

Arco Capaz

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento se observa con el mismo ángulo.

El arco capaz que más vamos a emplear en dibujo técnico es aquel que tiene un ángulo igual a 90º. En este caso el segmento se corresponde con diámetro de la circunferencia.

El arco capaz de 90º nos sirve para trazar tangentes desde un punto a una circunferencia y encontrar el punto de tangencia en una circunferencia.

 
A continuación tienes un Arco Capaz hecho con Geogebra. Puedes desplazar los puntos situados en la circunferencia para comprobar las propiedades de un arco capaz de 90º, arco realizado sobre el diámetro, y también de un arco capaz sobre otro segmento menor que corta a la circunferencia.

La elipse

La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

A continuación puedes ver los diferentes elementos de la elipse en dos dibujos realizados con Geogebra.  

- En el primero desplaza el punto ROJO (N) o la separación entre los focos.

- En el segundo podras ver en 3D la intersección de un cono con el plano que forma la elipse.
Puedes hacer zoom, deplazarte por la imagen, o ver la construcción por pasos.

La elipse se produce por la intersección de una superficie cónica de revolución con un plano OBLICUO al eje del cono. El plano corta a todas las generatrices del cono y por eso la curva es cerrada.

Área triángulo general = área cuadrado

La siguiente construcción sirve para calcular gráficamente el área de un cuadrado  que sea igual a la de un triángulo dado. (Si subdivides el cuadrado, puedes hacerlo para "n" cuadrados).

Haciendo clic sobre el dibujo, con la rueda del ratón podrás hacer zoom mientras  que lo desplazas manteniendo pulsado el botón.

Si a continuación desplazas los puntos D o B podrás cambiar el tamaño del triángulo.

La construcción se basa en transformar el triángulo en un rectángulo y así poder volver a componerlo como un cuadrado.

Área de triángulo rectángulo igual al área de un cuadrado

Circunferencia focal

La CIRCUNFERENCIA FOCAL es el lugar geométrico de los puntos simétricos al foco respecto a las tangentes de la cónica. La circunferencia focal de la elipse es la de radio el eje mayor y centro en un foco. La elipse y la hipérbola poseen dos circunferencias focales (Cf) mientras que en la parábola hay una, de centro impropio y coincidente con la recta directriz.

A continuación tienes una aplicación que muestra la cicunferencia focal en una elipse.