Curvas técnicas: el ovoide

Dentro del conjunto de las curvas planas están las curvas técnicas y, entre ellas, el ovoide. El ovoide es un tipo de curva plana cerrada, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dos desiguales. Además esta curva tiene un solo eje de simetría.

Construcción de un ovoide conociendo su eje menor

Si tenemos el eje menor CD de un ovoide, la construcción para completar la curva es la siguiente.

1. Trazamos la circunferencia de centro O y diámetro CD. A continuación trazamos la mediatriz del segmento CD y en la intersección con la circunferencia hallamos el punto O1.

2. Desde C y D trazamos las dos semirrectas que pasan por O1.

 3. A continuación con centro en los extremos C y D y radio la distancia CD trazamos dos arcos que corten a las semirrectas, en la intersección hallamos los puntos E y F.

 4. Por último trazamos los cuatro arcos de circunferencia para completar el ovoide.

• Arco de circunferencia con centro en O y radio OC.
• Arco de circunferencia con centro en C y radio CD.
• Arco de circunferencia con centro en D y radio CD.
• Arco de circunferencia con centro en O1 y radio O1E.

Construcción de un ovoide conociendo su eje mayor

Si en vez del eje menor tenemos el eje mayor AB de un ovoide, ahora la construcción para completar la curva es de la siguiente manera.

1. Dividimos el eje mayor en seis partes iguales, con el Teorema de Tales. De esta manera en la segunda división (P2) tenemos el primer centro, el punto O1, y en la quinta (P5) el centro O2. En la intersección del arco de circunferencia de centro O1 y radio O1B con la recta perpendicular al eje por O1 encontramos los otros dos centros O3 y O4.

Recuerda:

• P2 = centro O1
• P5 = centro O2
• Perpendicular por P2 con circunferencia O1B = C3 y C4

2. A continuación hallamos el eje menor, puntos C y D. Para ello trazamos la circunferencia con centro O1 y radio O1A. En la intersección con la perpendicular por P2 tenemos los puntos C y D.

3. Por un lado unimos con una semirrecta los puntos O3 y O2 y por otro los puntos O4 y O2. Desde O3 trazamos un arco de circunferencia con radio O3C que corta a la semirrecta en el punto E. Repetimos el proceso con un arco desde O4 y radio O4D y hallamos el punto F en la otra semirrecta.

4. Por último trazamos los cuatro arcos del OVOIDE.

• Arco de circunferencia con centro en O1 y radio O1A.
• Arco de circunferencia con centro en O2 y radio O2B.
• Arco de circunferencia con centro en O3 y radio O3C.
• Arco de circunferencia con centro en O4 y radio O4D.

Construcción de un ovoide conociendo sus ejes

Si conocemos los dos ejes de un ovoide la construcción es algo más complicada por el número de pasos pero igualmente sencilla, es de la siguiente manera.

1. Primero dispondremos la posición de los ejes AB y CD. Para ello trazamos una circunferencia a la distancia la mitad del eje menor sobre el eje mayor AB. En la perpendicular por el centro (O) situamos los puntos extremos C y D. Así el extremo más estrecho del ovoide se situará en la zona del punto B.

2. Hallamos el punto simétrico de A respecto al eje CD, el punto X. Éste punto estará determinado por la circunferencia  en su intersección con el eje AB y nos servirá para trazar una nueva circunferencia con centro en X y radio XB.

3. Tomando como centro uno de los extremos del eje menor (D), trazamos otra circunferencia con el mismo radio que la anterior (XB). Esto nos permite determinar un punto de corte en el eje menor CD que llamaremos Y.

4. Una vez hallados los puntos X e Y trazamos la mediatriz del segmento XY.  La mediatriz volverá a cortar al eje menor en otro punto, el centro O1 del ovoide. Con centro en O y radio O-O1 trazamos otra circunferencia para hallar su simétrico, el centro O2 del ovoide.

5. Trazamos dos semirrectas desde O1 y O2 que cortarán a la circunferencia con centro en X y radio X-B en los puntos P1 y P2. Puntos de encuentro de los arcos de circunferencia que definen el ovoide.

6. Por último trazamos los cuatro arcos que definen la curva cerrada del ovoide.

• Trazamos el arco de circunferencia con centro en O1 y radio O1D.
• Trazamos el arco de circunferencia con centro en O2 y radio O2C.
• Trazamos el arco de circunferencia con centro en O y radio OA.
• Trazamos el arco de circunferencia con centro en X y radio XP1. 

Curvas técnicas: el óvalo

Una curva técnica se configura mediante la unión de arcos de circunferencia tangentes entre sí. Estos arcos dan lugar a la formación de figuras planas que a su vez pueden ser cerradas o abiertas. En esta ocasión vamos a aprender a trazar una curva técnica llamada óvalo.

Construcción de un óvalo conociendo sus dos ejes

Cuando conocemos los ejes podemos obtener un óvalo óptimo. Si nos dan los ejes AB y CD, mayor y menor respectivamente, trazamos un óvalo con los siguientes pasos.

1. El primer paso es dibujar la circunferencia con diámetro el eje mayor y centro O, punto intersección de los dos ejes. En la prolongación del eje menor y en su intersección con la circunferencia que acabamos de dibujar encontraremos los puntos E y F.

2. Con centro en D, un extremo del eje menor, y radio DE trazamos otra circunferencia. A continuación unimos los extremos de los ejes, desde D hasta A, con un segmento. En la intersección del segmento con la circunferencia hallamos un nuevo punto (G) que divide al segmento en dos partes: AG y GD.

3. Continuamos trazando la mediatriz del segmento AG. La intersección de la mediatriz con los ejes, nos da los centros de los arcos de circunferencia que necesitamos para trazar el óvalo. Así los primeros centros que obtenemos son el O1 y el O2.

4. Los demás centros son simétricos respecto a los ejes. Si queremos conocer O3, hallaremos el punto simétrico de O1 respecto al eje menor y lo mismo con O2 respecto al eje mayor para obtener el centro O4. Para completar el óvalo, sólo hay que trazar los arcos de circunferencia respectivos. De la siguiente manera:

• Trazamos un arco con centro en O1 y radio O1A
• Trazamos un arco con centro en O2 y radio O2D
• Trazamos un arco con centro en O3 y radio O3B
• Trazamos un arco con centro en O4 y radio O4C

Con los cuatro arcos dibujaremos el óvalo, como en la siguiente imagen.

Construcción de un óvalo conociendo su eje MAYOR

 Si nos dan el eje mayor AB, trazamos un óvalo con los siguientes pasos.

1. El primer paso es dividir el segmento AB en tres partes iguales, lo hacemos con el teorema de Tales. De esta manera hallamos los centros O1 y O2.

2. A continuación trazamos dos circunferencias, con centros en O1 y O2 y radios hasta A y B respectivamente. Como podemos observar estas circunferencias tienen de radio 1/3 de la longitud del segmento AB.

3. En las intersecciones de las circunferencias hallamos los centros O3 y O4. Si unimos con semirrectas los centros (O3O1, O3O2 y O4O1, O4O2) en la intersección con las circunferencias hallaremos los puntos C, D, E, F.

4.  Ahora basta con trazar los cuatros arcos de circunferencia para dibujar el óvalo.

• Trazamos un arco con centro en O1 y radio O1C
• Trazamos un arco con centro en O2 y radio O2F
• Trazamos un arco con centro en O3 y radio O3D
• Trazamos un arco con centro en O4 y radio O4E

Construcción de un óvalo conociendo su eje MENOR

Vamos ahora a construir el óvalo conociendo el eje menor CD.

1. Lo primero que haremos es trazar la circunferencia desde el centro del segmento CD. Con centro en el punto medio (O) trazamos una circunferencia de radio OC. En la intersección con la perpendicular desde O, hallaremos los centros O1 y O2.

2. A continuación trazamos las semirrectas desde C y D que pasan por O1 y O2.

3. Con centro en C y en D trazamos dos arcos, de radio la distancia del eje CD, hallamos así los puntos E, F, G y H.

4. Para terminar trazamos los cuatro arcos de circunferencia. 

• Trazamos un arco con centro en O1 y radio O1G
• Trazamos un arco con centro en O2 y radio O2E
• Trazamos un arco con centro en C y radio CD
• Trazamos un arco con centro en D y radio DC

Tangentes interiores y exteriores a dos circunferencias

Hoy vamos a aprender a trazar las rectas tangentes a dos circunferencias y lo haremos de dos formas. En la mayoría de los manuales de dibujo sólo se explican los métodos de diferencia y suma de radios pero, en muchos casos, suele resultar más rápido realizar las tangentes a dos circunferencias por homología. Veremos que este método es especialmente práctico cuando trazamos las tangentes interiores.

Tangentes exteriores a dos circunferencias. 

La primera construcción que haremos es por el método de diferencia de radios, tenemos que seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar la circunferencia con diámetro la distancia entre los centros A y B de las circunferencias.

2. En la circunferencia mayor dibujamos otra circunferencia concéntrica cuyo radio es la diferencia de los radios de las dos circunferencias.

3. En la intersección de la circuferencia que hemos dibujado y la circunferencia mayor hallamos los puntos D y E.

4. A continuación trazamos los radios desde el centro B por los puntos D y E y obtenemos los puntos de tangencia exteriores T1 y T2.  

5. Trazamos paralelas para obtener los puntos de tangencia T3 y T4 en la otra circunferencia:

• Los segmentos B-T1 y A-T3 son paralelos.
• Los segmentos B-T2 y A-T4 son paralelos.

 Por último trazamos las rectas que pasan por T1-T3 y T2-T4 para dibujar las tangentes exteriores.

Esta construcción también la podemos realizar por homología. Veremos que en ocasiones el proceso puede ser más rápido, aunque tiene el inconveniente de que se necesita mayor espacio de dibujo para hallar el centro de la homología. La construcción es la siguiente.

1. Comenzamos por trazar dos paralelas cualquiera que pasen por los centros A y B de las circunferencias. Estas rectas cortan a las circunferencias en cuatro puntos.

2. Con una recta unimos los puntos de intersección que hemos hallado. Los dos puntos de la zona superior al eje de los centros por una parte y por otra los dos de la zona inferior. En la intersección de las dos rectas encontramos el centro de la homología, el punto K.

3. Trazamos las tangentes desde el punto k a las dos circunferencias. Primero trazando el arco capaz de 90º entre el punto K y el centro A. Después, en la intersección del arco con la circunferencia, hallamos los dos puntos de tangencia de la primera circunferencia.

Por último trazamos las rectas tangentes, desde el centro de homología hasta los puntos de tangencia de la primera circunferencia. Observamos que las rectas también son tangentes en la segunda circunferencia.

Si queremos determinar con exactitud los puntos de tangencia en la segunda circunferencia bastará trazar un nuevo arco capaz entre K y el centro B.

Tangentes interiores a dos circunferencias. 

Realizamos la primera construcción por el método de suma de radios, es igual que antes pero ahora sumamos los radios. La construcción es la siguiente:

1. Dibujamos la circunferencia de diámetro la distancia entre los centros (A y B) de las circunferencias.

2. En la circunferencia mayor dibujamos otra circunferencia concéntrica cuyo radio es la suma de los radios.

3. En la intersección de las dos circunferencias hallamos los puntos D y E.

4. A continuación trazamos los radios desde el centro B por los puntos D y E y obtenemos los puntos de tangencia interiores T1 y T2.  

5. Trazamos paralelas para obtener los puntos de tangencia T3 y T4 en la otra circunferencia:

• Los segmentos B-T1 y A-T4 son paralelos.
• Los segmentos B-T2 y A-T3 son paralelos.

 Por último trazamos las rectas que pasan por T1-T4 y T2-T3 para dibujar las tangentes interiores.

Como antes, esta construcción también la podemos realizar por homología. Ahora el proceso es más rápido y no tenemos problemas de espacio porque el centro de la homología está entre las dos circunferencias. La construcción es la siguiente.

 

1. Comenzamos por trazar dos paralelas cualquiera que pasen por los centros A y B de las circunferencias. Estas rectas cortan a las circunferencias en cuatro puntos.

2. Con una recta unimos los puntos de intersección que hemos hallado. A diferencia del caso anterior ahora unimos un punto de la zona superior con otro de la zona inferior. En la intersección de las dos rectas encontramos el centro de la homología, el punto K. En esta ocasión este punto se encuentra entre los centros de las circunferencias.

3. Hallamos los puntos de tangencia en las circunferencias. Desde el punto k trazamos el arco capaz de 90º hasta los centros A y B. En la intersección de los arcos con las circunferencias encontramos los puntos de tangencia.

Por último trazamos las rectas tangentes. Desde el centro de homología trazamos dos rectas hasta los puntos de tangencia, vemos que las tangentes pasan por los puntos T4-K-T1 y T3-K-T2.

Polígonos regulares, pentágono y decágono

La construcción exacta de un pentágono y un decágono regulares (polígonos de 5 y 10 lados) es una de las construcciones geométricas que debemos conocer.

Para construir un pentágono regular con regla y compás comenzaremos por trazar una circunferencia y dos diámetros perpendiculares. En nuestro ejemplo son los ejes A-B y D-E. A continuación con centro en uno de los extremos (A) y radio el de la circunferencia, trazaremos un arco que corte a la circunferencia en dos puntos (G y H).

Si unimos los puntos de corte que hemos hallado, G y H, obtenemos una cuerda de la circunferencia y un punto de intersección sobre el eje A-B: el punto I. 

Ahora con centro en el punto I trazamos un segundo arco de radio ID. Este arco volverá a cortar al eje A-B en un nuevo punto: K.

• La distancia desde D hasta K es el lado del pentágono.
• La distancia desde O hasta K es lado del decágono.

Para terminar de dibujar el pentágono trasladamos el punto K sobre la circunferencia. Si tomamos como centro el punto D y con radio DK trazamos un arco, el punto de corte M con la circunferencia define el primer lado del pentágono. Seguidamente con el compás trasladaremos los demás lados sobre la circunferencia para completar el pentágono.

Acabamos de completar la construcción de un pentágono inscrito en una circunferencia. En el caso de que tuviéramos el lado del pentágono y quisiéramos realizar un pentágono regular, la construcción es la siguiente.

Dibujar un pentágono conociendo el lado.

Dado un segmento AB si queremos dibujar un pentágono de lado el segmento, el primer paso es levantar una perpendicular por B con la longitud AB. Obtenemos así el punto C.

A continuación hallamos el punto M, punto medio de BC, y trazamos una circunferencia con centro en M y radio la mitad del lado. En la prolongación de la recta de AM y la intersección con la circunferencia hallamos el punto D.

Por último trazamos un arco desde A, con radio AD. En la intersección de los arcos BC y AD hallamos el punto G, tercer vértice del pentágono.

Teniendo dos lados ya podemos completar el pentágono según hemos visto al principio.

Ejercicio de acceso a la Universidad de 2008

El siguiente ejercicio pertenece a las pruebas de acceso a la Universidad del año 2008. Se trataba de hallar las circunferencias tangentes a una circunferencia (c) que pasara por dos puntos dados (A y B). La peculiaridad del ejercicio es que los puntos estaban dentro de la circunferencia.

Para resolver este ejercicio seguiremos el procedimiento habitual. Nos apoyaremos en una circunferencia auxiliar (perteneciente haz de circunferencias de los puntos A y B) con la condición de que corte a la circunferencia que nos dan.

Primero hallaremos el centro radical, luego los puntos de tangencia y por último los centros de las circunferencias de la solución. Los pasos detallados son los siguientes:

1. Hallar el centro radical con ayuda de una circunferencia auxiliar (del haz).

Las circunferencias que buscamos tienen sus centros en la mediatriz de los puntos A y B. Así que trazamos una circunferencia auxiliar, cualquiera que pase por A y B y corte a la circunferencia que nos dan.

2. Hallar la tangente desde el Centro Radical a la circunferencia auxiliar (punto T).

El centro radical queda definido por la intersección de dos ejes radicales. Por un lado tenemos el eje que forman los puntos A y B y por otro el eje de la intersección de la circunferencia auxiliar con la del enunciado. Si trazamos el arco capaz de 90º desde el CR hasta el centro de la auxiliar, en la intersección estará el punto de tangencia (T).

3. Hallar los puntos de tangencia T1 y T2. 

La potencia desde CR hasta T es la misma que a T1 y T2, siendo estos dos últimos los puntos de tangencia en la circunferencia dada. Trazando el arco CR-T obtenemos los puntos T1 y T2, luego ya tenemos tres puntos de las circunferencias que buscamos y las podemos dibujar. 

Por último, si unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con el centro O en la intersección con la mediatriz encontraremos los centros de las circunferencias que buscamos.

Como se puede ver en la imagen las circunferencias de la solución, de color azul, pasan por los puntos A y B, son tangentes a la dada y tienen sus centros en la mediatriz de esos dos puntos.

En definitiva, teniendo nuestras ideas claras se trata de un ejercicio que podemos resolver en pocos minutos.

Apolonio Prr

El siguiente problema de Apolonio consiste en hallar las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y que pasan por un punto dado (caso PRR).

En esta ocasión lo haremos aplicando los conceptos de POTENCIA y en otra entrada veremos que podemos realizar el problema mediante homotecia (pulsa aquí para verlo por homotecia).

También puedes ver los demás problemas de Apolonio en el índice del apartado de Dibujo del blog (o pulsando aquí).

Para resolver este caso lo primero que debemos saber es que las DOS circunferencias de la solución tendrán sus centros en la bisectriz de las rectas. Los pasos para resolver este problema son los siguientes:

Solución del problema de Apolonio PRR aplicando la potencia

1. Trazar la bisectriz de las dos rectas.

2. Hallar el centro radical.

Al trazar la perpendicular a la bisectriz por el punto dado, en la intersección de la perpendicular con las rectas encontraremos el centro radical.

3. Trazar una circunferencia auxiliar del haz de soluciones, que pase por P.

Esta circunferencia tendrá su centro en la bisectriz, en la perpendicular a P y pasará por el punto.

4. Hallar la tangente desde el centro radical a la circunferencia auxiliar y abatir el punto de tangencia sobre la recta.

Para este paso trazaremos el arco capaz de 90º entre el centro radical y el centro de la circunferencia auxiliar. En la intersección encontraremos el punto de tangencia. Este punto, con radio desde el centro radical al punto de tangencia, lo llevamos sobre la recta. Hallamos así dos puntos con igual potencia sobre la recta, que son los puntos de tangencia de las circunferencias de la solución con la recta.

5. Por último hallamos los centros de las circunferencias solución.

Los centros se encontrarán en la perpendicular a la recta y trazados desde por los puntos de tangencia que acabamos de hallar. Dichos centros, como dijimos al principio, estarán en la bisectriz de las dos rectas dadas. A su vez las dos circunferencias de la solución pasarán por P y su simétrico Ps.

Solución en Geogebra.

A continuación se presenta este problema de Apolonio realizado con la aplicación Geogebra. Puedes utilizar el zoom y la barra de navegación inferior para ver el desarrollo de la solución paso a paso.

Apolonio Pcc

Continuando con los problemas de Apolonio vamos a resolver el caso de las circunferencias tangentes a dos circunferencias y un punto, caso Pcc. 

Puedes consultar los demás casos en este blog, en el índice del apartado de Dibujo Técnico (pulsando aquí).

Para hallar las circunferencias tangentes del caso Pcc debemos aplicar los conceptos de inversión en el plano. Conceptos que ya hemos explicado en el blog (aquí).

Este caso tiene CUATRO soluciones en su forma general. Hallaremos dos soluciones mediante una inversión positiva y otras dos mediante una inversión negativa.

INVERSIÓN POSITIVA

A1. Definimos la inversión.

Consideraremos las dos circunferencias inversas entre sí y a continuación hallamos el centro de la inversión mediante sus tangentes. Podemos hallar dos centros de inversión, uno lo definen las rectas tangentes interiores y otro las exteriores. Pero para no complicar el dibujo, ahora lo haremos con las tangentes exteriores.

Recordemos también que en una inversión una circunferencia que no pasa por el centro de inversión se transforma en otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de la inversión.

Comenzamos hallando las rectas tangentes a las dos circunferencias para encontrar el centro de la inversión. Para trazar dichas tangentes podemos emplear el método de restar radios (exteriores) o por homología.

En la siguiente imagen se han trazado las tangentes exteriores y el punto de corte: centro de la inversión.

A2. Hallamos el inverso del punto.

 

Además de obtener el centro de la inversión vemos que los extremos de los diámetros más cercanos son puntos inversos entre sí. Y como una propiedad de la inversión es que dos puntos y sus inversos son concíclicos, están la misma circunferencia, podemos definir la circunferencia formada por los puntos A, su inverso Ai y el punto P. 

Con la circunferencia concíclica y el centro de la inversión podemos determinar el punto inverso de P, el punto Pi. Lo haremos trazando una recta desde el centro de inversión Ci hasta el punto P, hallando así el punto de corte con la circunferencia concíclica: el punto Pi.

A3. Haz de circunferencias que pasan por P y su inverso.

Las soluciones de este problema se van a encontrar dentro del haz de circunferencias que definen los puntos P y Pi. Por lo tanto los centros de las circunferencias que buscamos estarán en la mediatriz de estos puntos.  Ahora nos falta determinar los puntos de tangencia en las circunferencias.

A4. Ejes y centros radicales.

A continuación observaremos los ejes radicales que tenemos en nuestro dibujo. (Si quieres saber más sobre ejes radicales lo hemos explicado en el blog aquí). Por un lado tenemos el eje radical que definen los puntos P y Pi y por otro tenemos los ejes que definen la circunferencia concíclica en su intersección con las circunferencias dadas.  

En este punto podemos utilizar la circunferencia concíclica como auxiliar, porque es una de las circunferencias del haz de soluciones, tiene su centro en la mediatriz y pasa por P y su inverso. Recordemos que todas las circunferencias que pertenecen al mismo haz elíptico cumplen las mismas condiciones de tangencia desde el centro radical.

Continuamos prolongando los ejes radicales hasta que se corten en los puntos M y N.

Si nos fijamos hemos convertido nuestro problema en el caso PPC, tenemos dos puntos y cada una de las circunferencias. Vamos a continuar como lo haríamos en el caso PPC

A5. Puntos de tangencia y centro de las circunferencias.

Ya sólo nos falta hallar los puntos de tangencia. Para este paso podemos hacerlo de dos formas. Una es trazando los arcos capaces de 90º respecto a los puntos M-O1 y N-O2, otra empleando la circunferencia auxiliar y dibujando los arcos capaces entre M-C_aux y N-C_aux y hallando los puntos de tangencia (Tc1 y Tc2) que trasladeremos a las circunferencias 1 y 2. Ambos procedimientos deben coincidir en los mismos puntos de tangencia.

Si ahora unimos los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia, en su prolongación hallaremos los centros de DOS de las CUATRO circunferencias solución. Estos centros se deben encontrar en la mediatriz de P y su inverso Pi. Ya sólo hay que trazar las circunferencias solución desde los centros hallados en la mediatriz hasta los puntos de tangencia.

A continuación realizaremos la inversión negativa para hallar las otras dos circunferencias tangentes.

INVERSIÓN NEGATIVA

B1. Definimos la inversión.

El primer paso es considerar las dos circunferencias inversas entre sí y hallaremos el centro de inversión que definen las rectas tangentes interiores.

Nota: No es necesario dibujar las tangentes interiores, por homología podemos determinar el centro de la inversión. Bastará con trazar dos segmentos paralelos por los centros de las circunferencias y en el punto de corte de los segmentos que unen los lados de cada extremo opuesto estará el centro de la inversión (ver figura).

B2. Hallamos el inverso del punto.

 

Dos puntos y sus inversos son concíclicos y podemos definir la circunferencia formada por los puntos A, su inverso Ai y el punto P. En esta ocasión los puntos inversos se situan en un extremo del diámetro de cada circunferencia.

Con la circunferencia concíclica y el centro de la inversión podemos determinar el punto inverso de P, el punto Pi. Lo haremos uniendo el centro de inversión (Cinv) con el punto P hasta que corte a nuestra circunferencia auxiliar. 

 B3. Haz de circunferencias que pasan por P y su inverso.

Como antes, las soluciones de este problema se van a encontrar dentro del haz de circunferencias que definen los puntos P y Pi. Por lo tanto los centros de las circunferencias que buscamos estarán en la mediatriz de estos puntos.  Ahora nos falta determinar el centro radical y los puntos de tangencia en las circunferencias.

B4. Ejes y centros radicales.

Utilizamos la circunferencia concíclica como auxiliar pues todas las circunferencias del haz de las circunferencias solución pasan por P y Pi y tienen su centro en la mediatriz de P y Pi, como nuestra auxiliar y concíclica. Prolongamos prolongamos los ejes radicales que define nuestra auxiliar con las circunferencias del problema hasta que se corten en el centro radical CR.

B5. Puntos de tangencia y centro de las circunferencias.

Hemos vuelto a reducir el problema al caso PPC, tenemos el punto P, su inverso Pi y la circunferencia C1 (elegimos esta circunferencia porque su centro radical queda dentro de nuestros límites de dibujo).

Nos falta hallar los puntos de tangencia. Para este paso haremos el arco capaz 90º entre CR y el centro de la auxiliar C_aux. Luego trasladaremos el punto de tangencia a la circunferencia de centro O1. Como explicamos antes también podríamos hacer un arco entre el centro radical y el centro O1 de la circunfencia. Nos daría un punto de tangencia directamente en dicha circunferencia (ver imagen).

Por último al unir los puntos de tangencia con los centros de las circunferencias, en su prolongación, hallaremos los centros de otras DOS de las CUATRO circunferencias solución.

Soluciones A y B realizadas con Geogebra

A continuación todo el proceso explicado antes hecho con la aplicación Geogebra. Utiliza el zoom y la barra de navegación para ver los pasos desde el principio.

CASO A

CASO B

Electrotecnia - Conceptos básicos II

En el blog ya hemos visto algunos conceptos básicos de electrotecnia, los comenzamos a explicar en la entrada de Conceptos Básicos de Electrotecnia I, aquí. Ahora vamos a resumir más conceptos y leyes importantes.

¿Qué es la resistencia eléctrica?

Este concepto se refiere al componente de un circuito que dificulta el avance de la corriente eléctrica. La resistencia eléctrica nos ayuda a diferenciar los cuerpos que son mejores conductores de los que son peores. Podemos decir que un mal conductor posee mucha resistencia eléctrica mientras que uno bueno tiene poca resistencia. Por lo tanto podemos definirla así:

"La resistencia eléctrica es la mayor o menor oposición que ofrecen los cuerpos conductores al paso de la corriente eléctrica"

Representación de resistencias

Cuando los electrones circulan por un conductor éstos tienen que moverse a través de todos los átomos. Se produce una especie de rozamiento, una resistencia al movimiento de electrones, que se transforma en calor. Estos choques son menores en los buenos conductores y mayores en los malos. 

La unidad de medida de la resistencia es el OHMIO y se representa con la letra griega omega.

La ley de Ohm

En este momento es necesario hacer referencia a la Ley de Ohm. Esta ley, debida al físico Georg Simon Ohm, nos dice que la intensidad (I) con la cual la corriente recorre un circuito eléctrico es directamente proporcional a la tensión aplicada (V) e inversamente proporcional a su resistencia (R).

La importancia de esta ley es que nos relaciona las tres magnitudes eléctricas de intensidad, tensión y resistencia. Recordemos que la intensidad se mide en Amperios, la tensión en Voltios y la resistencia se hace en Ohmnios.


La resistencia de un material conductor

La resistencia de los diferentes materiales depende de su naturaleza. En general la resistencia de un conductor aumenta con su longitud mientras que su resistencia disminuye al aumentar su sección.

Por ejemplo, la resistencia del cobre es igual 0,017 Ohmnios. Esta es su resistencia calculada con 1 metro de longitud y 1 mm^2 de sección. La fórmula de la resistencia de cualquier conductor es la siguiente:
 

Donde "p" es el coeficiente de resistividad y se mide en: Ohmnios · mm^2 / m
"L" es la longitud en metros, "S" es la sección en mm^2 y "R" la resistencia medida en Ohmnios.


Influencia de la temperatura en la resistividad

Un factor muy importante a tener en cuenta es que la resistencia aumenta con la temperatura en los conductores metálicos.  La fórmula que nos relaciona estos conceptos es la siguiente:

Donde "R del conductor" es la resistencia en caliente. "R base" es la resistencia a 0º C. "Alfa" es el coeficiente de temperatura y está multiplicado por el incremento de temperatura, que se mide en grados centígrados.

La influencia de la temperatura y el aumento de la resistencia en los materiales conductores puede ser un inconveniente, según los usos que queramos darles. Del mismo modo los materiales aislantes tienen la característica de que su resistencia disminuye con la temperatura.

Referencias

LIBRO y PDF de Electrotecnia, aquí
REGLAMENTO ELECTROTÉCNICO PARA BAJA TENSIÓN, en PDF aquí